代数例

$\ln (x) \leq 9$

ステップ 1

不等式を等式に変換します。

$\ln (x) = 9$

ステップ 2

方程式を解きます。

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ステップ 2.1

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x)} = e^{9}$

ステップ 2.2

対数の定義を利用して $\ln (x) = 9$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{9} = x$

ステップ 2.3

方程式を $x = e^{9}$ として書き換えます。

$x = e^{9}$

$x = e^{9}$

ステップ 3

$\ln (x) - 9$ の定義域を求めます。

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ステップ 3.1

$\ln (x)$ の偏角を $0$ より大きいとして、式が定義である場所を求めます。

$x > 0$

ステップ 3.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(0, \infty)$

$(0, \infty)$

ステップ 4

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 0$

$0 < x < e^{9}$

$x > e^{9}$

ステップ 5

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 5.1

区間 $x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 5.1.1

区間 $x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 5.1.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$\ln (- 2) \leq 9$

ステップ 5.1.3

不等式が真か判定します。

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ステップ 5.1.3.1

未定義なので、方程式は解くことができません。

$未定義$

ステップ 5.1.3.2

左辺に解はありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

偽

偽

ステップ 5.2

区間 $0 < x < e^{9}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 5.2.1

区間 $0 < x < e^{9}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 5.2.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$\ln (2) \leq 9$

ステップ 5.2.3

左辺 $0.69314718$ は右辺 $9$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

真

ステップ 5.3

区間 $x > e^{9}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 5.3.1

区間 $x > e^{9}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 8106$

ステップ 5.3.2

$x$ を元の不等式の $8106$ で置き換えます。

$\ln (8106) \leq 9$

ステップ 5.3.3

左辺 $9.0003598$ は右辺 $9$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

偽

ステップ 5.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 0$ 偽

$0 < x < e^{9}$ 真

$x > e^{9}$ 偽

$x < 0$ 偽

$0 < x < e^{9}$ 真

$x > e^{9}$ 偽

ステップ 6

解はすべての真の区間からなります。

$0 < x \leq e^{9}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$0 < x \leq e^{9}$

区間記号：

$(0, e^{9}]$

ステップ 8

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$