代数例

$(x^{4} + 5 x^{2} - 36) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

ステップ 1

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$({(x^{2})}^{2} + 5 x^{2} - 36) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

ステップ 2

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$(u^{2} + 5 u - 36) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

ステップ 3

たすき掛けを利用して $u^{2} + 5 u - 36$ を因数分解します。

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ステップ 3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 36$ で、その和が $5$ です。

$- 4, 9$

ステップ 3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 4) (u + 9) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

ステップ 4

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$(x^{2} - 4) (x^{2} + 9) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

ステップ 5

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$(x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 9) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

ステップ 6

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

ステップ 7

因数分解。

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ステップ 7.1

群による因数分解。

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ステップ 7.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 5 = - 10$ で和が $b = 9$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 7.1.1.1

$9$ を $9 x$ で因数分解します。

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (2 x^{2} + 9 (x) - 5) = 0$

ステップ 7.1.1.2

$9$ を $- 1$ プラス $10$ に書き換える

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (2 x^{2} + (- 1 + 10) x - 5) = 0$

ステップ 7.1.1.3

分配則を当てはめます。

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (2 x^{2} - 1 x + 10 x - 5) = 0$

ステップ 7.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 7.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) ((2 x^{2} - 1 x) + 10 x - 5) = 0$

ステップ 7.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (x (2 x - 1) + 5 (2 x - 1)) = 0$

ステップ 7.1.3

最大公約数 $2 x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) ((2 x - 1) (x + 5)) = 0$

ステップ 7.2

不要な括弧を削除します。

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (2 x - 1) (x + 5) = 0$

ステップ 8

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

ステップ 9

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 9.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 9.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 10

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 10.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 10.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 11

$x^{2} + 9$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 11.1

$x^{2} + 9$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 9 = 0$

ステップ 11.2

$x$ について $x^{2} + 9 = 0$ を解きます。

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ステップ 11.2.1

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$x^{2} = - 9$

ステップ 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

ステップ 11.2.3

$\pm \sqrt{- 9}$ を簡約します。

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ステップ 11.2.3.1

$- 9$ を $- 1 (9)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

ステップ 11.2.3.2

$\sqrt{- 1 (9)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

ステップ 11.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

ステップ 11.2.3.4

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

ステップ 11.2.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \cdot 3$

ステップ 11.2.3.6

$3$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \pm 3 i$

ステップ 11.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 11.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 3 i$

ステップ 11.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 3 i$

ステップ 11.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 3 i, - 3 i$

ステップ 12

$2 x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 12.1

$2 x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 x - 1 = 0$

ステップ 12.2

$x$ について $2 x - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 12.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 x = 1$

ステップ 12.2.2

$2 x = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 12.2.2.1

$2 x = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 12.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 12.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 12.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{2}$

ステップ 13

$x + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 13.1

$x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$x + 5 = 0$

ステップ 13.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x = - 5$

ステップ 14

最終解は $(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (2 x - 1) (x + 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 2, 2, 3 i, - 3 i, \frac{1}{2}, - 5$

代数 例

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