代数例

$3 e^{4 x} - 9 e^{2 x} - 15 = 0$

ステップ 1

$e^{4 x}$ を累乗法として書き換えます。

$3 {(e^{x})}^{4} - 9 e^{2 x} - 15 = 0$

ステップ 2

$e^{2 x}$ を累乗法として書き換えます。

$3 {(e^{x})}^{4} - 9 {(e^{x})}^{2} - 15 = 0$

ステップ 3

$u$ を $e^{x}$ に代入します。

$3 u^{4} - 9 u^{2} - 15 = 0$

ステップ 4

$u$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$u = u^{2}$ を方程式に代入します。これにより二次方程式の解の公式を利用しやすくします。

$3 u^{2} - 9 u - 15 = 0$

$u = u^{2}$

ステップ 4.2

$3$ を $3 u^{2} - 9 u - 15$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$3$ を $3 u^{2}$ で因数分解します。

$3 (u^{2}) - 9 u - 15 = 0$

ステップ 4.2.2

$3$ を $- 9 u$ で因数分解します。

$3 (u^{2}) + 3 (- 3 u) - 15 = 0$

ステップ 4.2.3

$3$ を $- 15$ で因数分解します。

$3 u^{2} + 3 (- 3 u) + 3 \cdot - 5 = 0$

ステップ 4.2.4

$3$ を $3 u^{2} + 3 (- 3 u)$ で因数分解します。

$3 (u^{2} - 3 u) + 3 \cdot - 5 = 0$

ステップ 4.2.5

$3$ を $3 (u^{2} - 3 u) + 3 \cdot - 5$ で因数分解します。

$3 (u^{2} - 3 u - 5) = 0$

ステップ 4.3

$3 (u^{2} - 3 u - 5) = 0$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$3 (u^{2} - 3 u - 5) = 0$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 (u^{2} - 3 u - 5)}{3} = \frac{0}{3}$

ステップ 4.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 (u^{2} - 3 u - 5)}{3} = \frac{0}{3}$

ステップ 4.3.2.1.2

$u^{2} - 3 u - 5$ を $1$ で割ります。

$u^{2} - 3 u - 5 = \frac{0}{3}$

ステップ 4.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

$0$ を $3$ で割ります。

$u^{2} - 3 u - 5 = 0$

ステップ 4.4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 4.5

$a = 1$ 、 $b = - 3$ 、および $c = - 5$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $u$ の値を求めます。

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 5)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.6.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.6.1.2.2

$- 4$ に $- 5$ をかけます。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 20}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.6.1.3

$9$ と $20$ をたし算します。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2}$

ステップ 4.7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$u = \frac{3 + \sqrt{29}}{2}, \frac{3 - \sqrt{29}}{2}$

ステップ 4.8

$u = u^{2}$ の実数を解いた方程式に代入して戻します。

$u^{2} = 4.1925824$

${(u^{2})}^{1} = - 1.1925824$

ステップ 4.9

$u$ について第1方程式を解きます。

$u^{2} = 4.1925824$

ステップ 4.10

$u$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.10.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$u = \pm \sqrt{4.1925824}$

ステップ 4.10.2

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.10.2.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$u = \sqrt{4.1925824}$

ステップ 4.10.2.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$u = - \sqrt{4.1925824}$

ステップ 4.10.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$u = \sqrt{4.1925824}, - \sqrt{4.1925824}$

ステップ 4.11

$u$ について二次方程式を解きます。

${(u^{2})}^{1} = - 1.1925824$

ステップ 4.12

$u$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.12.1

括弧を削除します。

$u^{2} = - 1.1925824$

ステップ 4.12.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$u = \pm \sqrt{- 1.1925824}$

ステップ 4.12.3

$\pm \sqrt{- 1.1925824}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.12.3.1

$- 1.1925824$ を $- 1 (1.1925824)$ に書き換えます。

$u = \pm \sqrt{- 1 (1.1925824)}$

ステップ 4.12.3.2

$\sqrt{- 1 (1.1925824)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.1925824}$ に書き換えます。

$u = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.1925824}$

ステップ 4.12.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$u = \pm i \sqrt{1.1925824}$

ステップ 4.12.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.12.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$u = i \sqrt{1.1925824}$

ステップ 4.12.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$u = - i \sqrt{1.1925824}$

ステップ 4.12.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$u = i \sqrt{1.1925824}, - i \sqrt{1.1925824}$

ステップ 4.13

$3 u^{4} - 9 u^{2} - 15 = 0$ の解は $u = \sqrt{4.1925824}, - \sqrt{4.1925824}, i \sqrt{1.1925824}, - i \sqrt{1.1925824}$ です。

$u = \sqrt{4.1925824}, - \sqrt{4.1925824}, i \sqrt{1.1925824}, - i \sqrt{1.1925824}$

ステップ 5

$\sqrt{4.1925824}$ を $u = e^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$\sqrt{4.1925824} = e^{x}$

ステップ 6

$\sqrt{4.1925824} = e^{x}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

方程式を $e^{x} = \sqrt{4.1925824}$ として書き換えます。

$e^{x} = \sqrt{4.1925824}$

ステップ 6.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (\sqrt{4.1925824})$

ステップ 6.3

左辺を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$x \ln (e) = \ln (\sqrt{4.1925824})$

ステップ 6.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$x \cdot 1 = \ln (\sqrt{4.1925824})$

ステップ 6.3.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x = \ln (\sqrt{4.1925824})$

ステップ 7

$- \sqrt{4.1925824}$ を $u = e^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$- \sqrt{4.1925824} = e^{x}$

ステップ 8

$- \sqrt{4.1925824} = e^{x}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

方程式を $e^{x} = - \sqrt{4.1925824}$ として書き換えます。

$e^{x} = - \sqrt{4.1925824}$

ステップ 8.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (- \sqrt{4.1925824})$

ステップ 8.3

$\ln (- \sqrt{4.1925824})$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 8.4

$e^{x} = - \sqrt{4.1925824}$ の解はありません

解がありません

ステップ 9

$i \sqrt{1.1925824}$ を $u = e^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$i \sqrt{1.1925824} = e^{x}$

ステップ 10

$i \sqrt{1.1925824} = e^{x}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

方程式を $e^{x} = i \sqrt{1.1925824}$ として書き換えます。

$e^{x} = i \sqrt{1.1925824}$

ステップ 10.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (i \sqrt{1.1925824})$

ステップ 10.3

左辺を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$x \ln (e) = \ln (i \sqrt{1.1925824})$

ステップ 10.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$x \cdot 1 = \ln (i \sqrt{1.1925824})$

ステップ 10.3.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x = \ln (i \sqrt{1.1925824})$

ステップ 10.4

右辺を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1

$\ln (i \sqrt{1.1925824})$ を $\ln (i) + \ln (\sqrt{1.1925824})$ に書き換えます。

$x = \ln (i) + \ln (\sqrt{1.1925824})$

ステップ 10.4.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1.1925824}$ を ${1.1925824}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \ln (i) + \ln ({1.1925824}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 10.4.3

$\frac{1}{2}$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({1.1925824}^{\frac{1}{2}})$ を展開します。

$x = \ln (i) + \frac{1}{2} \ln (1.1925824)$

ステップ 10.4.4

$\frac{1}{2}$ と $\ln (1.1925824)$ をまとめます。

$x = \ln (i) + \frac{\ln (1.1925824)}{2}$

ステップ 10.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.1.1

$\frac{\ln (1.1925824)}{2}$ を $\frac{1}{2} \ln (1.1925824)$ に書き換えます。

$x = \ln (i) + \frac{1}{2} \ln (1.1925824)$

ステップ 10.5.1.2

対数の中の $\frac{1}{2}$ を移動させて $\frac{1}{2} \ln (1.1925824)$ を簡約します。

$x = \ln (i) + \ln ({1.1925824}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 10.5.1.3

$1.1925824$ を ${1.09205421}^{2}$ に書き換えます。

$x = \ln (i) + \ln ({({1.09205421}^{2})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 10.5.1.4

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \ln (i) + \ln ({1.09205421}^{2 (\frac{1}{2})})$

ステップ 10.5.1.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.1.5.1

共通因数を約分します。

$x = \ln (i) + \ln ({1.09205421}^{2 (\frac{1}{2})})$

ステップ 10.5.1.5.2

式を書き換えます。

$x = \ln (i) + \ln ({1.09205421}^{1})$

ステップ 10.5.1.6

指数を求めます。

$x = \ln (i) + \ln (1.09205421)$

ステップ 10.5.2

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$x = \ln (i \cdot 1.09205421)$

ステップ 10.5.3

$1.09205421$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \ln (1.09205421 i)$

ステップ 11

$- i \sqrt{1.1925824}$ を $u = e^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$- i \sqrt{1.1925824} = e^{x}$

ステップ 12

$- i \sqrt{1.1925824} = e^{x}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

方程式を $e^{x} = - i \sqrt{1.1925824}$ として書き換えます。

$e^{x} = - i \sqrt{1.1925824}$

ステップ 12.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (- i \sqrt{1.1925824})$

ステップ 12.3

$\ln (- i \sqrt{1.1925824})$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 12.4

$e^{x} = - i \sqrt{1.1925824}$ の解はありません

解がありません

ステップ 13

方程式が真になるような解をリストします。

$x = \ln (\sqrt{4.1925824}), \ln (1.09205421 i)$

代数 例

代数例