代数例

\sqrt{c + 9} - \sqrt{c} > \sqrt{3}

$\sqrt{c + 9} - \sqrt{c} > \sqrt{3}$

ステップ 1

不等式の両辺に

\sqrt{c}

$\sqrt{c}$ を足します。

\sqrt{c + 9} > \sqrt{3} + \sqrt{c}

$\sqrt{c + 9} > \sqrt{3} + \sqrt{c}$

ステップ 2

不等式の左辺から根を削除するため、不等式の両辺を2乗します。

{\sqrt{c + 9}}^{2} > {(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}

${\sqrt{c + 9}}^{2} > {(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$

ステップ 3

不等式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、

\sqrt{c + 9}

$\sqrt{c + 9}$ を

{(c + 9)}^{\frac{1}{2}}

${(c + 9)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

{({(c + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}

${({(c + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

{({(c + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}

${({(c + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

{({(c + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}

${({(c + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

{(c + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}

${(c + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$

ステップ 3.2.1.1.2

2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(c + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(c + 9)}^{1} > {(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$

ステップ 3.2.1.2

簡約します。

$c + 9 > {(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

${(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

${(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$ を

$(\sqrt{3} + \sqrt{c}) (\sqrt{3} + \sqrt{c})$ に書き換えます。

$c + 9 > (\sqrt{3} + \sqrt{c}) (\sqrt{3} + \sqrt{c})$

ステップ 3.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って

$(\sqrt{3} + \sqrt{c}) (\sqrt{3} + \sqrt{c})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$c + 9 > \sqrt{3} (\sqrt{3} + \sqrt{c}) + \sqrt{c} (\sqrt{3} + \sqrt{c})$

ステップ 3.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$c + 9 > \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{c} + \sqrt{c} (\sqrt{3} + \sqrt{c})$

ステップ 3.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$c + 9 > \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{c} + \sqrt{c} \sqrt{3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

ステップ 3.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.3.1.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$c + 9 > \sqrt{3 \cdot 3} + \sqrt{3} \sqrt{c} + \sqrt{c} \sqrt{3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

ステップ 3.3.1.3.1.2

$3$ に

$3$ をかけます。

$c + 9 > \sqrt{9} + \sqrt{3} \sqrt{c} + \sqrt{c} \sqrt{3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

ステップ 3.3.1.3.1.3

$9$ を

$3^{2}$ に書き換えます。

$c + 9 > \sqrt{3^{2}} + \sqrt{3} \sqrt{c} + \sqrt{c} \sqrt{3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

ステップ 3.3.1.3.1.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$c + 9 > 3 + \sqrt{3} \sqrt{c} + \sqrt{c} \sqrt{3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

ステップ 3.3.1.3.1.5

根の積の法則を使ってまとめます。

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c} \sqrt{3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

ステップ 3.3.1.3.1.6

根の積の法則を使ってまとめます。

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

ステップ 3.3.1.3.1.7

$\sqrt{c} \sqrt{c}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.3.1.7.1

$\sqrt{c}$ を

$1$ 乗します。

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + {\sqrt{c}}^{1} \sqrt{c}$

ステップ 3.3.1.3.1.7.2

$\sqrt{c}$ を

$1$ 乗します。

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + {\sqrt{c}}^{1} {\sqrt{c}}^{1}$

ステップ 3.3.1.3.1.7.3

べき乗則

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + {\sqrt{c}}^{1 + 1}$

ステップ 3.3.1.3.1.7.4

$1$ と

$1$ をたし算します。

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + {\sqrt{c}}^{2}$

ステップ 3.3.1.3.1.8

${\sqrt{c}}^{2}$ を

$c$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.3.1.8.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、

$\sqrt{c}$ を

$c^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + {(c^{\frac{1}{2}})}^{2}$

ステップ 3.3.1.3.1.8.2

べき乗則を当てはめて、指数

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + c^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

ステップ 3.3.1.3.1.8.3

$\frac{1}{2}$ と

$2$ をまとめます。

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + c^{\frac{2}{2}}$

ステップ 3.3.1.3.1.8.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.3.1.8.4.1

共通因数を約分します。

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + c^{\frac{2}{2}}$

ステップ 3.3.1.3.1.8.4.2

式を書き換えます。

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + c^{1}$

ステップ 3.3.1.3.1.8.5

簡約します。

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + c$

ステップ 3.3.1.3.2

$\sqrt{3 c}$ と

$\sqrt{c \cdot 3}$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.3.2.1

$c$ と

$3$ を並べ替えます。

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{3 \cdot c} + c$

ステップ 3.3.1.3.2.2

$\sqrt{3 c}$ と

$\sqrt{3 \cdot c}$ をたし算します。

$c + 9 > 3 + 2 \sqrt{3 c} + c$

ステップ 4

$2 \sqrt{3 c}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$2 \sqrt{3 c}$ が不等式の左辺になるように書き換えます。

$3 + 2 \sqrt{3 c} + c < c + 9$

ステップ 4.2

$2 \sqrt{3 c}$ を含まないすべての項を不等式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

不等式の両辺から

$3$ を引きます。

$2 \sqrt{3 c} + c < c + 9 - 3$

ステップ 4.2.2

不等式の両辺から

$c$ を引きます。

$2 \sqrt{3 c} < c + 9 - 3 - c$

ステップ 4.2.3

$c + 9 - 3 - c$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$c$ から

$c$ を引きます。

$2 \sqrt{3 c} < 0 + 9 - 3$

ステップ 4.2.3.2

$0$ と

$9$ をたし算します。

$2 \sqrt{3 c} < 9 - 3$

ステップ 4.2.4

$9$ から

$3$ を引きます。

$2 \sqrt{3 c} < 6$

ステップ 5

不等式の左辺から根を削除するため、不等式の両辺を2乗します。

${(2 \sqrt{3 c})}^{2} < 6^{2}$

ステップ 6

不等式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、

$\sqrt{3 c}$ を

${(3 c)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(2 {(3 c)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

ステップ 6.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

${(2 {(3 c)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

積の法則を

$3 c$ に当てはめます。

${(2 (3^{\frac{1}{2}} c^{\frac{1}{2}}))}^{2} < 6^{2}$

ステップ 6.2.1.2

べき乗則

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.2.1

積の法則を

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} c^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

${(2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})}^{2} {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

ステップ 6.2.1.2.2

積の法則を

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

$2^{2} \cdot {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

ステップ 6.2.1.3

$2$ を

$2$ 乗します。

$4 \cdot {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

ステップ 6.2.1.4

${(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.4.1

べき乗則を当てはめて、指数

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

ステップ 6.2.1.4.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.4.2.1

共通因数を約分します。

$4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

ステップ 6.2.1.4.2.2

式を書き換えます。

$4 \cdot 3^{1} {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

ステップ 6.2.1.5

指数を求めます。

$4 \cdot 3 {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

ステップ 6.2.1.6

$4$ に

$3$ をかけます。

$12 {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

ステップ 6.2.1.7

${(c^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.7.1

べき乗則を当てはめて、指数

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$12 c^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 6^{2}$

ステップ 6.2.1.7.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.7.2.1

共通因数を約分します。

$12 c^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 6^{2}$

ステップ 6.2.1.7.2.2

式を書き換えます。

$12 c^{1} < 6^{2}$

ステップ 6.2.1.8

簡約します。

$12 c < 6^{2}$

ステップ 6.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$6$ を

$2$ 乗します。

$12 c < 36$

ステップ 7

$12 c < 36$ の各項を

$12$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$12 c < 36$ の各項を

$12$ で割ります。

$\frac{12 c}{12} < \frac{36}{12}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{12 c}{12} < \frac{36}{12}$

ステップ 7.2.1.2

$c$ を

$1$ で割ります。

$c < \frac{36}{12}$

ステップ 7.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

$36$ を

$12$ で割ります。

$c < 3$

ステップ 8

$\sqrt{c + 9} - \sqrt{c} - \sqrt{3}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$\sqrt{c + 9}$ の被開数を

$0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$c + 9 \geq 0$

ステップ 8.2

不等式の両辺から

$9$ を引きます。

$c \geq - 9$

ステップ 8.3

$\sqrt{c}$ の被開数を

$0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$c \geq 0$

ステップ 8.4

定義域は式が定義になる

$c$ のすべての値です。

$[0, \infty)$

ステップ 9

各根を利用して検定区間を作成します。

$c < 0$

$0 < c < 3$

$c > 3$

ステップ 10

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

区間

$c < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

区間

$c < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$c = - 2$

ステップ 10.1.2

$c$ を元の不等式の

$- 2$ で置き換えます。

$\sqrt{(- 2) + 9} - \sqrt{- 2} > \sqrt{3}$

ステップ 10.1.3

左辺は右辺に等しくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 10.2

区間

$0 < c < 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

区間

$0 < c < 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$c = 2$

ステップ 10.2.2

$c$ を元の不等式の

$2$ で置き換えます。

$\sqrt{(2) + 9} - \sqrt{2} > \sqrt{3}$

ステップ 10.2.3

左辺

$1.90241122$ は右辺

$1.7320508$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 10.3

区間

$c > 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

区間

$c > 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$c = 6$

ステップ 10.3.2

$c$ を元の不等式の

$6$ で置き換えます。

$\sqrt{(6) + 9} - \sqrt{6} > \sqrt{3}$

ステップ 10.3.3

左辺

$1.4234936$ は右辺

$1.7320508$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 10.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$c < 0$ 偽

$0 < c < 3$ 真

$c > 3$ 偽

$c < 0$ 偽

$0 < c < 3$ 真

$c > 3$ 偽

ステップ 11

解はすべての真の区間からなります。

$0 < c < 3$

ステップ 12

代数 例

代数例