代数例

$108 x^{3} + 37 = 5$

ステップ 1

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$108 x^{3} + 37 - 5 = 0$

ステップ 2

$37$ から $5$ を引きます。

$108 x^{3} + 32 = 0$

ステップ 3

$4$ を $108 x^{3} + 32$ で因数分解します。

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ステップ 3.1

$4$ を $108 x^{3}$ で因数分解します。

$4 (27 x^{3}) + 32 = 0$

ステップ 3.2

$4$ を $32$ で因数分解します。

$4 (27 x^{3}) + 4 (8) = 0$

ステップ 3.3

$4$ を $4 (27 x^{3}) + 4 (8)$ で因数分解します。

$4 (27 x^{3} + 8) = 0$

ステップ 4

$27 x^{3}$ を ${(3 x)}^{3}$ に書き換えます。

$4 ({(3 x)}^{3} + 8) = 0$

ステップ 5

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$4 ({(3 x)}^{3} + 2^{3}) = 0$

ステップ 6

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 3 x$ であり、 $b = 2$ です。

$4 ((3 x + 2) ({(3 x)}^{2} - 3 x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

ステップ 7

因数分解。

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ステップ 7.1

簡約します。

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ステップ 7.1.1

積の法則を $3 x$ に当てはめます。

$4 ((3 x + 2) (3^{2} x^{2} - 3 x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

ステップ 7.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$4 ((3 x + 2) (9 x^{2} - 3 x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

ステップ 7.1.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$4 ((3 x + 2) (9 x^{2} - 3 x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

ステップ 7.1.4

$2$ に $- 3$ をかけます。

$4 ((3 x + 2) (9 x^{2} - 6 x + 2^{2})) = 0$

ステップ 7.1.5

$2$ を $2$ 乗します。

$4 ((3 x + 2) (9 x^{2} - 6 x + 4)) = 0$

ステップ 7.2

不要な括弧を削除します。

$4 (3 x + 2) (9 x^{2} - 6 x + 4) = 0$

ステップ 8

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 x + 2 = 0$

$9 x^{2} - 6 x + 4 = 0$

ステップ 9

$3 x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 9.1

$3 x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$3 x + 2 = 0$

ステップ 9.2

$x$ について $3 x + 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 9.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$3 x = - 2$

ステップ 9.2.2

$3 x = - 2$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 9.2.2.1

$3 x = - 2$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

ステップ 9.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 9.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

ステップ 9.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 2}{3}$

ステップ 9.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 9.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{2}{3}$

ステップ 10

$9 x^{2} - 6 x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 10.1

$9 x^{2} - 6 x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$9 x^{2} - 6 x + 4 = 0$

ステップ 10.2

$x$ について $9 x^{2} - 6 x + 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 10.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 10.2.2

$a = 9$ 、 $b = - 6$ 、および $c = 4$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (9 \cdot 4)}}{2 \cdot 9}$

ステップ 10.2.3

簡約します。

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ステップ 10.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 10.2.3.1.1

$- 6$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 9 \cdot 4}}{2 \cdot 9}$

ステップ 10.2.3.1.2

$- 4 \cdot 9 \cdot 4$ を掛けます。

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ステップ 10.2.3.1.2.1

$- 4$ に $9$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 36 \cdot 4}}{2 \cdot 9}$

ステップ 10.2.3.1.2.2

$- 36$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 144}}{2 \cdot 9}$

ステップ 10.2.3.1.3

$36$ から $144$ を引きます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 108}}{2 \cdot 9}$

ステップ 10.2.3.1.4

$- 108$ を $- 1 (108)$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 108}}{2 \cdot 9}$

ステップ 10.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (108)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 9}$

ステップ 10.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 9}$

ステップ 10.2.3.1.7

$108$ を $6^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.3.1.7.1

$36$ を $108$ で因数分解します。

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 9}$

ステップ 10.2.3.1.7.2

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

ステップ 10.2.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{6 \pm i \cdot (6 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

ステップ 10.2.3.1.9

$6$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

ステップ 10.2.3.2

$2$ に $9$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm 6 i \sqrt{3}}{18}$

ステップ 10.2.3.3

$\frac{6 \pm 6 i \sqrt{3}}{18}$ を簡約します。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{3}$

ステップ 10.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 10.2.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 10.2.4.1.1

$- 6$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 9 \cdot 4}}{2 \cdot 9}$

ステップ 10.2.4.1.2

$- 4 \cdot 9 \cdot 4$ を掛けます。

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ステップ 10.2.4.1.2.1

$- 4$ に $9$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 36 \cdot 4}}{2 \cdot 9}$

ステップ 10.2.4.1.2.2

$- 36$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 144}}{2 \cdot 9}$

ステップ 10.2.4.1.3

$36$ から $144$ を引きます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 108}}{2 \cdot 9}$

ステップ 10.2.4.1.4

$- 108$ を $- 1 (108)$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 108}}{2 \cdot 9}$

ステップ 10.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (108)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 9}$

ステップ 10.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 9}$

ステップ 10.2.4.1.7

$108$ を $6^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 10.2.4.1.7.1

$36$ を $108$ で因数分解します。

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 9}$

ステップ 10.2.4.1.7.2

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

ステップ 10.2.4.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{6 \pm i \cdot (6 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

ステップ 10.2.4.1.9

$6$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

ステップ 10.2.4.2

$2$ に $9$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm 6 i \sqrt{3}}{18}$

ステップ 10.2.4.3

$\frac{6 \pm 6 i \sqrt{3}}{18}$ を簡約します。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{3}$

ステップ 10.2.4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{3}$

ステップ 10.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 10.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.5.1.1

$- 6$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 9 \cdot 4}}{2 \cdot 9}$

ステップ 10.2.5.1.2

$- 4 \cdot 9 \cdot 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.5.1.2.1

$- 4$ に $9$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 36 \cdot 4}}{2 \cdot 9}$

ステップ 10.2.5.1.2.2

$- 36$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 144}}{2 \cdot 9}$

ステップ 10.2.5.1.3

$36$ から $144$ を引きます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 108}}{2 \cdot 9}$

ステップ 10.2.5.1.4

$- 108$ を $- 1 (108)$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 108}}{2 \cdot 9}$

ステップ 10.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (108)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 9}$

ステップ 10.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 9}$

ステップ 10.2.5.1.7

$108$ を $6^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.5.1.7.1

$36$ を $108$ で因数分解します。

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 9}$

ステップ 10.2.5.1.7.2

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

ステップ 10.2.5.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{6 \pm i \cdot (6 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

ステップ 10.2.5.1.9

$6$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

ステップ 10.2.5.2

$2$ に $9$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm 6 i \sqrt{3}}{18}$

ステップ 10.2.5.3

$\frac{6 \pm 6 i \sqrt{3}}{18}$ を簡約します。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{3}$

ステップ 10.2.5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{1 - i \sqrt{3}}{3}$

ステップ 10.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{3}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{3}$

ステップ 11

最終解は $4 (3 x + 2) (9 x^{2} - 6 x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - \frac{2}{3}, \frac{1 + i \sqrt{3}}{3}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{3}$

代数 例

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