代数例

$y = {(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = {(\frac{1}{2})}^{y - 1} + 2$

ステップ 2

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式を ${(\frac{1}{2})}^{y - 1} + 2 = x$ として書き換えます。

${(\frac{1}{2})}^{y - 1} + 2 = x$

ステップ 2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$\frac{1^{y - 1}}{2^{y - 1}} + 2 = x$

ステップ 2.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{2^{y - 1}} + 2 = x$

ステップ 2.3

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2^{y - 1}} = x - 2$

ステップ 2.4

方程式の両辺に $2^{y - 1}$ を掛けます。

$1 = 2^{y - 1} (x - 2)$

ステップ 2.5

方程式を $2^{y - 1} (x - 2) = 1$ として書き換えます。

$2^{y - 1} (x - 2) = 1$

ステップ 2.6

$2^{y - 1} (x - 2) = 1$ の各項を $x - 2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$2^{y - 1} (x - 2) = 1$ の各項を $x - 2$ で割ります。

$\frac{2^{y - 1} (x - 2)}{x - 2} = \frac{1}{x - 2}$

ステップ 2.6.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.1

$x - 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2^{y - 1} (x - 2)}{x - 2} = \frac{1}{x - 2}$

ステップ 2.6.2.1.2

$2^{y - 1}$ を $1$ で割ります。

$2^{y - 1} = \frac{1}{x - 2}$

ステップ 2.7

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (2^{y - 1}) = \ln (\frac{1}{x - 2})$

ステップ 2.8

$y - 1$ を対数の外に移動させて、 $\ln (2^{y - 1})$ を展開します。

$(y - 1) \ln (2) = \ln (\frac{1}{x - 2})$

ステップ 2.9

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.1

$(y - 1) \ln (2)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.1.1

分配則を当てはめます。

$y \ln (2) - 1 \ln (2) = \ln (\frac{1}{x - 2})$

ステップ 2.9.1.2

$- 1 \ln (2)$ を $- \ln (2)$ に書き換えます。

$y \ln (2) - \ln (2) = \ln (\frac{1}{x - 2})$

ステップ 2.10

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$y \ln (2) - \ln (2) - \ln (\frac{1}{x - 2}) = 0$

ステップ 2.11

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1

方程式の両辺に $\ln (2)$ を足します。

$y \ln (2) - \ln (\frac{1}{x - 2}) = \ln (2)$

ステップ 2.11.2

方程式の両辺に $\ln (\frac{1}{x - 2})$ を足します。

$y \ln (2) = \ln (2) + \ln (\frac{1}{x - 2})$

ステップ 2.12

$y \ln (2) = \ln (2) + \ln (\frac{1}{x - 2})$ の各項を $\ln (2)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.1

$y \ln (2) = \ln (2) + \ln (\frac{1}{x - 2})$ の各項を $\ln (2)$ で割ります。

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

ステップ 2.12.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.2.1

$\ln (2)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

ステップ 2.12.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

ステップ 2.12.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.3.1

$\ln (2)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.3.1.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

ステップ 2.12.3.1.2

式を書き換えます。

$y = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

ステップ 3

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$ が $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2)$ の値を求めます。

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) - 2})}{\ln (2)}$

ステップ 4.2.3

$1 + \frac{\ln (\frac{1}{({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) - 2})}{\ln (2)}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$2$ から $2$ を引きます。

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 0})}{\ln (2)}$

ステップ 4.2.3.2

${(\frac{1}{2})}^{x - 1}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{x - 1}})}{\ln (2)}$

ステップ 4.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1.1

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{\frac{1^{x - 1}}{2^{x - 1}}})}{\ln (2)}$

ステップ 4.2.4.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{\frac{1}{2^{x - 1}}})}{\ln (2)}$

ステップ 4.2.4.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.2.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (1 \cdot 2^{x - 1})}{\ln (2)}$

ステップ 4.2.4.2.2

$2^{x - 1}$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (2^{x - 1})}{\ln (2)}$

ステップ 4.2.4.3

$x - 1$ を対数の外に移動させて、 $\ln (2^{x - 1})$ を展開します。

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (2)}{\ln (2)}$

ステップ 4.2.4.4

$\ln (2)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (2)}{\ln (2)}$

ステップ 4.2.4.4.2

$x - 1$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + x - 1$

ステップ 4.2.5

$1 + x - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.1

$1$ から $1$ を引きます。

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = x + 0$

ステップ 4.2.5.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = x$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)})$ の値を求めます。

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = {(\frac{1}{2})}^{(1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) - 1} + 2$

ステップ 4.3.3

${(\frac{1}{2})}^{(1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) - 1} + 2$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

$1$ から $1$ を引きます。

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = {(\frac{1}{2})}^{0 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}} + 2$

ステップ 4.3.3.2

$0$ と $\frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$ をたし算します。

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = {(\frac{1}{2})}^{\frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}} + 2$

ステップ 4.3.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = \frac{1^{\frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}}}{2^{\frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}}} + 2$

ステップ 4.3.4.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = \frac{1}{2^{\frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}}} + 2$

ステップ 4.3.4.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.3.1

底の変換公式 $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ を利用します。

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = \frac{1}{2^{\log_{2} (\frac{1}{x - 2})}} + 2$

ステップ 4.3.4.3.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = \frac{1}{\frac{1}{x - 2}} + 2$

ステップ 4.3.4.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = 1 (x - 2) + 2$

ステップ 4.3.4.5

$x - 2$ に $1$ をかけます。

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = x - 2 + 2$

ステップ 4.3.5

$x - 2 + 2$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.1

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = x + 0$

ステップ 4.3.5.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = x$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$ は $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

代数 例

代数例