代数例

$1 = \cot^{2} (x) + \csc (x)$

ステップ 1

方程式を $\cot^{2} (x) + \csc (x) = 1$ として書き換えます。

$\cot^{2} (x) + \csc (x) = 1$

ステップ 2

$\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ 恒等式に基づいて $\cot^{2} (x)$ を $\csc^{2} (x) - 1$ で置き換えます。

$(\csc^{2} (x) - 1) + \csc (x) = 1$

ステップ 3

多項式を並べ替えます。

$\csc^{2} (x) + \csc (x) - 1 = 1$

ステップ 4

$u$ を $\csc (x)$ に代入します。

${(u)}^{2} + u - 1 = 1$

ステップ 5

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$u^{2} + u - 1 - 1 = 0$

ステップ 6

$- 1$ から $1$ を引きます。

$u^{2} + u - 2 = 0$

ステップ 7

たすき掛けを利用して $u^{2} + u - 2$ を因数分解します。

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ステップ 7.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 2$ で、その和が $1$ です。

$- 1, 2$

ステップ 7.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 1) (u + 2) = 0$

ステップ 8

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$u - 1 = 0$

$u + 2 = 0$

ステップ 9

$u - 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 9.1

$u - 1$ が $0$ に等しいとします。

$u - 1 = 0$

ステップ 9.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$u = 1$

ステップ 10

$u + 2$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 10.1

$u + 2$ が $0$ に等しいとします。

$u + 2 = 0$

ステップ 10.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$u = - 2$

ステップ 11

最終解は $(u - 1) (u + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = 1, - 2$

ステップ 12

$\csc (x)$ を $u$ に代入します。

$\csc (x) = 1, - 2$

ステップ 13

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\csc (x) = 1$

$\csc (x) = - 2$

ステップ 14

$\csc (x) = 1$ の $x$ について解きます。

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ステップ 14.1

方程式の両辺の逆余割をとり、余割の中から $x$ を取り出します。

$x = arccsc (1)$

ステップ 14.2

右辺を簡約します。

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ステップ 14.2.1

$arccsc (1)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 14.3

余割関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - \frac{π}{2}$

ステップ 14.4

$π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 14.4.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 14.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 14.4.2.1

$π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 14.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 14.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 14.4.3.1

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

ステップ 14.4.3.2

$2 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 14.5

$\csc (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 14.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 14.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 14.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 14.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 14.6

$\csc (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 15

$\csc (x) = - 2$ の $x$ について解きます。

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ステップ 15.1

方程式の両辺の逆余割をとり、余割の中から $x$ を取り出します。

$x = arccsc (- 2)$

ステップ 15.2

右辺を簡約します。

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ステップ 15.2.1

$arccsc (- 2)$ の厳密値は $- \frac{π}{6}$ です。

$x = - \frac{π}{6}$

ステップ 15.3

余割関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

ステップ 15.4

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 15.4.1

$2 π + \frac{π}{6} + π$ から $2 π$ を引きます。

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

ステップ 15.4.2

$\frac{7 π}{6}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{6} + π$ と隣接します。

$x = \frac{7 π}{6}$

ステップ 15.5

$\csc (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 15.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 15.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 15.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 15.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 15.6

$2 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 15.6.1

$2 π$ を $- \frac{π}{6}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{6} + 2 π$

ステップ 15.6.2

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 15.6.3

分数をまとめます。

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ステップ 15.6.3.1

$2 π$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 15.6.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

ステップ 15.6.4

分子を簡約します。

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ステップ 15.6.4.1

$6$ に $2$ をかけます。

$\frac{12 π - π}{6}$

ステップ 15.6.4.2

$12 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{11 π}{6}$

ステップ 15.6.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{11 π}{6}$

ステップ 15.7

$\csc (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 16

すべての解をまとめます。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 17

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}$ 、任意の整数 $n$

代数 例

代数例