代数例

$f (x) = 36 x^{4} - 12 x^{3} + x^{2}$

ステップ 1

$36 x^{4} - 12 x^{3} + x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$36 x^{4} - 12 x^{3} + x^{2} = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$x^{2}$ を $36 x^{4} - 12 x^{3} + x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.1.1

$x^{2}$ を $36 x^{4}$ で因数分解します。

$x^{2} (36 x^{2}) - 12 x^{3} + x^{2} = 0$

ステップ 2.1.1.2

$x^{2}$ を $- 12 x^{3}$ で因数分解します。

$x^{2} (36 x^{2}) + x^{2} (- 12 x) + x^{2} = 0$

ステップ 2.1.1.3

$1$ を掛けます。

$x^{2} (36 x^{2}) + x^{2} (- 12 x) + x^{2} \cdot 1 = 0$

ステップ 2.1.1.4

$x^{2}$ を $x^{2} (36 x^{2}) + x^{2} (- 12 x)$ で因数分解します。

$x^{2} (36 x^{2} - 12 x) + x^{2} \cdot 1 = 0$

ステップ 2.1.1.5

$x^{2}$ を $x^{2} (36 x^{2} - 12 x) + x^{2} \cdot 1$ で因数分解します。

$x^{2} (36 x^{2} - 12 x + 1) = 0$

ステップ 2.1.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 2.1.2.1

$36 x^{2}$ を ${(6 x)}^{2}$ に書き換えます。

$x^{2} ({(6 x)}^{2} - 12 x + 1) = 0$

ステップ 2.1.2.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$x^{2} ({(6 x)}^{2} - 12 x + 1^{2}) = 0$

ステップ 2.1.2.3

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$12 x = 2 \cdot (6 x) \cdot 1$

ステップ 2.1.2.4

多項式を書き換えます。

$x^{2} ({(6 x)}^{2} - 2 \cdot (6 x) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

ステップ 2.1.2.5

$a = 6 x$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$x^{2} {(6 x - 1)}^{2} = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

${(6 x - 1)}^{2} = 0$

ステップ 2.3

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 2.3.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 2.3.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 2.3.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 2.3.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 2.3.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 2.4

${(6 x - 1)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

${(6 x - 1)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(6 x - 1)}^{2} = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について ${(6 x - 1)}^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

$6 x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$6 x - 1 = 0$

ステップ 2.4.2.2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.4.2.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$6 x = 1$

ステップ 2.4.2.2.2

$6 x = 1$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.2.1

$6 x = 1$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 x}{6} = \frac{1}{6}$

ステップ 2.4.2.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.2.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 x}{6} = \frac{1}{6}$

ステップ 2.4.2.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{6}$

ステップ 2.5

最終解は $x^{2} {(6 x - 1)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。根の重複度は根が出現する回数です。

$x = 0$ （ $2$ の重複度）

$x = \frac{1}{6}$ （ $2$ の重複度）

$x = 0$ （ $2$ の重複度）

$x = \frac{1}{6}$ （ $2$ の重複度）

ステップ 3

代数 例

代数例