代数例

$f (x) = \frac{1}{2} \sqrt{2 x + 1}$

ステップ 1

$f (x) = \frac{1}{2} \sqrt{2 x + 1}$ を方程式で書きます。

$y = \frac{1}{2} \sqrt{2 x + 1}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 y + 1}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 y + 1} = x$ として書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 y + 1} = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 y + 1}) = 2 x$

ステップ 3.3

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 y + 1})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

$\frac{1}{2}$ と $\sqrt{2 y + 1}$ をまとめます。

$2 \frac{\sqrt{2 y + 1}}{2} = 2 x$

ステップ 3.3.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{\sqrt{2 y + 1}}{2} = 2 x$

ステップ 3.3.1.2.2

式を書き換えます。

$\sqrt{2 y + 1} = 2 x$

ステップ 3.4

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{2 y + 1}}^{2} = {(2 x)}^{2}$

ステップ 3.5

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 y + 1}$ を ${(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

ステップ 3.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

${({(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.1

${({(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(2 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

ステップ 3.5.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(2 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

ステップ 3.5.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(2 y + 1)}^{1} = {(2 x)}^{2}$

ステップ 3.5.2.1.2

簡約します。

$2 y + 1 = {(2 x)}^{2}$

ステップ 3.5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1

${(2 x)}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1.1

積の法則を $2 x$ に当てはめます。

$2 y + 1 = 2^{2} x^{2}$

ステップ 3.5.3.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$2 y + 1 = 4 x^{2}$

ステップ 3.6

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 y = 4 x^{2} - 1$

ステップ 3.6.2

$2 y = 4 x^{2} - 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1

$2 y = 4 x^{2} - 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 y}{2} = \frac{4 x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

ステップ 3.6.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y}{2} = \frac{4 x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

ステップ 3.6.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{4 x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

ステップ 3.6.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.3.1.1

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.3.1.1.1

$2$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{2 (2 x^{2})}{2} + \frac{- 1}{2}$

ステップ 3.6.2.3.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.3.1.1.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$y = \frac{2 (2 x^{2})}{2 (1)} + \frac{- 1}{2}$

ステップ 3.6.2.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot 1} + \frac{- 1}{2}$

ステップ 3.6.2.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{- 1}{2}$

ステップ 3.6.2.3.1.1.2.4

$2 x^{2}$ を $1$ で割ります。

$y = 2 x^{2} + \frac{- 1}{2}$

ステップ 3.6.2.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y = 2 x^{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = 2 x^{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = 2 x^{2} - \frac{1}{2}$ が $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1})}^{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 5.2.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$\frac{1}{2}$ と $\sqrt{2 x + 1}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 {(\frac{\sqrt{2 x + 1}}{2})}^{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 5.2.3.2

積の法則を $\frac{\sqrt{2 x + 1}}{2}$ に当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{{\sqrt{2 x + 1}}^{2}}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

ステップ 5.2.3.3

${\sqrt{2 x + 1}}^{2}$ を $2 x + 1$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 x + 1}$ を ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{{({(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

ステップ 5.2.3.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

ステップ 5.2.3.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

ステップ 5.2.3.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.3.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

ステップ 5.2.3.3.4.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{2 x + 1}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

ステップ 5.2.3.3.5

簡約します。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{2 x + 1}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

ステップ 5.2.3.4

$2$ を $2$ 乗します。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{2 x + 1}{4}) - \frac{1}{2}$

ステップ 5.2.3.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.5.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{2 x + 1}{2 (2)}) - \frac{1}{2}$

ステップ 5.2.3.5.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{2 x + 1}{2 \cdot 2}) - \frac{1}{2}$

ステップ 5.2.3.5.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = \frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 5.2.4

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = \frac{2 x + 1 - 1}{2}$

ステップ 5.2.4.2

$2 x + 1 - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = \frac{2 x + 0}{2}$

ステップ 5.2.4.2.2

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = \frac{2 x}{2}$

ステップ 5.2.4.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.3.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = \frac{2 x}{2}$

ステップ 5.2.4.3.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (2 x^{2} - \frac{1}{2})$ の値を求めます。

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 (2 x^{2} - \frac{1}{2}) + 1}$

ステップ 5.3.3

分配則を当てはめます。

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 (2 x^{2}) + 2 (- \frac{1}{2}) + 1}$

ステップ 5.3.4

$2$ に $2$ をかけます。

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2} + 2 (- \frac{1}{2}) + 1}$

ステップ 5.3.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.1

$- \frac{1}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2} + 2 (\frac{- 1}{2}) + 1}$

ステップ 5.3.5.2

共通因数を約分します。

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2} + 2 (\frac{- 1}{2}) + 1}$

ステップ 5.3.5.3

式を書き換えます。

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2} - 1 + 1}$

ステップ 5.3.6

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2} + 0}$

ステップ 5.3.6.2

$4 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2}}$

ステップ 5.3.7

$4 x^{2}$ を ${(2 x)}^{2}$ に書き換えます。

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{{(2 x)}^{2}}$

ステップ 5.3.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

ステップ 5.3.9

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.9.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x))$

ステップ 5.3.9.2

共通因数を約分します。

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

ステップ 5.3.9.3

式を書き換えます。

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = 2 x^{2} - \frac{1}{2}$ は $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = 2 x^{2} - \frac{1}{2}$

代数 例

代数例