代数例

$\log_{2} (x) + \log_{2} (x + 4) < 5$

ステップ 1

不等式を等式に変換します。

$\log_{2} (x) + \log_{2} (x + 4) = 5$

ステップ 2

方程式を解きます。

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ステップ 2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 2.1.1

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\log_{2} (x (x + 4)) = 5$

ステップ 2.1.2

分配則を当てはめます。

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot 4) = 5$

ステップ 2.1.3

式を簡約します。

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ステップ 2.1.3.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\log_{2} (x^{2} + x \cdot 4) = 5$

ステップ 2.1.3.2

$4$ を $x$ の左に移動させます。

$\log_{2} (x^{2} + 4 x) = 5$

ステップ 2.2

対数の定義を利用して $\log_{2} (x^{2} + 4 x) = 5$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$2^{5} = x^{2} + 4 x$

ステップ 2.3

$x$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

方程式を $x^{2} + 4 x = 2^{5}$ として書き換えます。

$x^{2} + 4 x = 2^{5}$

ステップ 2.3.2

$2$ を $5$ 乗します。

$x^{2} + 4 x = 32$

ステップ 2.3.3

方程式の両辺から $32$ を引きます。

$x^{2} + 4 x - 32 = 0$

ステップ 2.3.4

たすき掛けを利用して $x^{2} + 4 x - 32$ を因数分解します。

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ステップ 2.3.4.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 32$ で、その和が $4$ です。

$- 4, 8$

ステップ 2.3.4.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 4) (x + 8) = 0$

ステップ 2.3.5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 4 = 0$

$x + 8 = 0$

ステップ 2.3.6

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.6.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 2.3.6.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 2.3.7

$x + 8$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.7.1

$x + 8$ が $0$ に等しいとします。

$x + 8 = 0$

ステップ 2.3.7.2

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$x = - 8$

ステップ 2.3.8

最終解は $(x - 4) (x + 8) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 4, - 8$

ステップ 3

$\log_{2} (x^{2} + 4 x) - 5$ の定義域を求めます。

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ステップ 3.1

$\log_{2} (x^{2} + 4 x)$ の偏角を $0$ より大きいとして、式が定義である場所を求めます。

$x^{2} + 4 x > 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 3.2.1

不等式を方程式に変換します。

$x^{2} + 4 x = 0$

ステップ 3.2.2

$x$ を $x^{2} + 4 x$ で因数分解します。

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ステップ 3.2.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$x \cdot x + 4 x = 0$

ステップ 3.2.2.2

$x$ を $4 x$ で因数分解します。

$x \cdot x + x \cdot 4 = 0$

ステップ 3.2.2.3

$x$ を $x \cdot x + x \cdot 4$ で因数分解します。

$x (x + 4) = 0$

ステップ 3.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x + 4 = 0$

ステップ 3.2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 3.2.5

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.2.5.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 3.2.5.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 3.2.6

最終解は $x (x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 4$

ステップ 3.2.7

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 4$

$- 4 < x < 0$

$x > 0$

ステップ 3.2.8

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 3.2.8.1

区間 $x < - 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.8.1.1

区間 $x < - 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 3.2.8.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

${(- 6)}^{2} + 4 (- 6) > 0$

ステップ 3.2.8.1.3

左辺 $12$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 3.2.8.2

区間 $- 4 < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.8.2.1

区間 $- 4 < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 3.2.8.2.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

${(- 2)}^{2} + 4 (- 2) > 0$

ステップ 3.2.8.2.3

左辺 $- 4$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 3.2.8.3

区間 $x > 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 3.2.8.3.1

区間 $x > 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 3.2.8.3.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

${(2)}^{2} + 4 (2) > 0$

ステップ 3.2.8.3.3

左辺 $12$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 3.2.8.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 4$ 真

$- 4 < x < 0$ 偽

$x > 0$ 真

$x < - 4$ 真

$- 4 < x < 0$ 偽

$x > 0$ 真

ステップ 3.2.9

解はすべての真の区間からなります。

$x < - 4$ または $x > 0$

ステップ 3.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, - 4) \cup (0, \infty)$

ステップ 4

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 8$

$- 8 < x < - 4$

$- 4 < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

ステップ 5

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 5.1

区間 $x < - 8$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 5.1.1

区間 $x < - 8$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 10$

ステップ 5.1.2

$x$ を元の不等式の $- 10$ で置き換えます。

$\log_{2} (- 10) + \log_{2} ((- 10) + 4) < 5$

ステップ 5.1.3

不等式が真か判定します。

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ステップ 5.1.3.1

未定義なので、方程式は解くことができません。

$未定義$

ステップ 5.1.3.2

左辺に解はありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 5.2

区間 $- 8 < x < - 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 5.2.1

区間 $- 8 < x < - 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 5.2.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

$\log_{2} (- 6) + \log_{2} ((- 6) + 4) < 5$

ステップ 5.2.3

不等式が真か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

未定義なので、方程式は解くことができません。

$未定義$

ステップ 5.2.3.2

左辺に解はありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 5.3

区間 $- 4 < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

区間 $- 4 < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 5.3.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$\log_{2} (- 2) + \log_{2} ((- 2) + 4) < 5$

ステップ 5.3.3

不等式が真か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

未定義なので、方程式は解くことができません。

$未定義$

ステップ 5.3.3.2

左辺に解はありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 5.4

区間 $0 < x < 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

区間 $0 < x < 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 5.4.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$\log_{2} (2) + \log_{2} ((2) + 4) < 5$

ステップ 5.4.3

左辺 $3.5849625$ は右辺 $5$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 5.5

区間 $x > 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 5.5.1

区間 $x > 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 5.5.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$\log_{2} (6) + \log_{2} ((6) + 4) < 5$

ステップ 5.5.3

左辺 $5.90689059$ は右辺 $5$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 5.6

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 8$ 偽

$- 8 < x < - 4$ 偽

$- 4 < x < 0$ 偽

$0 < x < 4$ 真

$x > 4$ 偽

$x < - 8$ 偽

$- 8 < x < - 4$ 偽

$- 4 < x < 0$ 偽

$0 < x < 4$ 真

$x > 4$ 偽

ステップ 6

解はすべての真の区間からなります。

$0 < x < 4$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$0 < x < 4$

区間記号：

$(0, 4)$

ステップ 8

代数 例

代数例