代数例

$x^{2} + y^{2} = a^{2}$

ステップ 1

$x = r \cos (θ)$ なので、 $x$ を $r \cos (θ)$ で置き換えます。

${(r \cos (θ))}^{2} + y^{2} = a^{2}$

ステップ 2

$y = r \sin (θ)$ なので、 $y$ を $r \sin (θ)$ で置き換えます。

${(r \cos (θ))}^{2} + {(r \sin (θ))}^{2} = a^{2}$

ステップ 3

$r$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺から $a^{2}$ を引きます。

${(r \cos (θ))}^{2} + {(r \sin (θ))}^{2} - a^{2} = 0$

ステップ 3.2

方程式の左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

積の法則を $r \cos (θ)$ に当てはめます。

$r^{2} \cos^{2} (θ) + {(r \sin (θ))}^{2} - a^{2} = 0$

ステップ 3.2.1.2

積の法則を $r \sin (θ)$ に当てはめます。

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \sin^{2} (θ) - a^{2} = 0$

ステップ 3.2.2

くくりだして簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$r^{2}$ を $r^{2} \cos^{2} (θ)$ で因数分解します。

$r^{2} (\cos^{2} (θ)) + r^{2} \sin^{2} (θ) - a^{2} = 0$

ステップ 3.2.2.2

$r^{2}$ を $r^{2} \sin^{2} (θ)$ で因数分解します。

$r^{2} (\cos^{2} (θ)) + r^{2} (\sin^{2} (θ)) - a^{2} = 0$

ステップ 3.2.2.3

$r^{2}$ を $r^{2} (\cos^{2} (θ)) + r^{2} (\sin^{2} (θ))$ で因数分解します。

$r^{2} (\cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ)) - a^{2} = 0$

ステップ 3.2.3

項を並べ替えます。

$r^{2} (\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)) - a^{2} = 0$

ステップ 3.2.4

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$r^{2} \cdot 1 - a^{2} = 0$

ステップ 3.2.5

$r^{2}$ に $1$ をかけます。

$r^{2} - a^{2} = 0$

ステップ 3.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = r$ であり、 $b = a$ です。

$(r + a) (r - a) = 0$

ステップ 3.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$r + a = 0$

$r - a = 0$

ステップ 3.5

$r + a$ を $0$ に等しくし、 $r$ を解きます。

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ステップ 3.5.1

$r + a$ が $0$ に等しいとします。

$r + a = 0$

ステップ 3.5.2

方程式の両辺から $a$ を引きます。

$r = - a$

ステップ 3.6

$r - a$ を $0$ に等しくし、 $r$ を解きます。

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ステップ 3.6.1

$r - a$ が $0$ に等しいとします。

$r - a = 0$

ステップ 3.6.2

方程式の両辺に $a$ を足します。

$r = a$

ステップ 3.7

最終解は $(r + a) (r - a) = 0$ を真にするすべての値です。

$r = - a$

$r = a$

$r = - a$

$r = a$

代数 例

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