代数例

$\log_{3} (x + 9) < 4$

ステップ 1

不等式を等式に変換します。

$\log_{3} (x + 9) = 4$

ステップ 2

方程式を解きます。

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ステップ 2.1

対数の定義を利用して $\log_{3} (x + 9) = 4$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$3^{4} = x + 9$

ステップ 2.2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.2.1

方程式を $x + 9 = 3^{4}$ として書き換えます。

$x + 9 = 3^{4}$

ステップ 2.2.2

$3$ を $4$ 乗します。

$x + 9 = 81$

ステップ 2.2.3

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.2.3.1

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$x = 81 - 9$

ステップ 2.2.3.2

$81$ から $9$ を引きます。

$x = 72$

ステップ 3

$\log_{3} (x + 9) - 4$ の定義域を求めます。

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ステップ 3.1

$\log_{3} (x + 9)$ の偏角を $0$ より大きいとして、式が定義である場所を求めます。

$x + 9 > 0$

ステップ 3.2

不等式の両辺から $9$ を引きます。

$x > - 9$

ステップ 3.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- 9, \infty)$

ステップ 4

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 9$

$- 9 < x < 72$

$x > 72$

ステップ 5

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 5.1

区間 $x < - 9$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 5.1.1

区間 $x < - 9$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 12$

ステップ 5.1.2

$x$ を元の不等式の $- 12$ で置き換えます。

$\log_{3} ((- 12) + 9) < 4$

ステップ 5.1.3

不等式が真か判定します。

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ステップ 5.1.3.1

未定義なので、方程式は解くことができません。

$未定義$

ステップ 5.1.3.2

左辺に解はありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 5.2

区間 $- 9 < x < 72$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 5.2.1

区間 $- 9 < x < 72$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 5.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\log_{3} ((0) + 9) < 4$

ステップ 5.2.3

左辺 $2$ は右辺 $4$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 5.3

区間 $x > 72$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 5.3.1

区間 $x > 72$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 74$

ステップ 5.3.2

$x$ を元の不等式の $74$ で置き換えます。

$\log_{3} ((74) + 9) < 4$

ステップ 5.3.3

左辺 $4.02220205$ は右辺 $4$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 5.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 9$ 偽

$- 9 < x < 72$ 真

$x > 72$ 偽

$x < - 9$ 偽

$- 9 < x < 72$ 真

$x > 72$ 偽

ステップ 6

解はすべての真の区間からなります。

$- 9 < x < 72$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$- 9 < x < 72$

区間記号：

$(- 9, 72)$

ステップ 8

代数 例

代数例