代数例

$f (x) = \sqrt{\frac{1}{9} - x^{2}}$

ステップ 1

$\sqrt{\frac{1}{9} - x^{2}}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$\frac{1}{9} - x^{2} \geq 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

不等式の両辺から $\frac{1}{9}$ を引きます。

$- x^{2} \geq - \frac{1}{9}$

ステップ 2.2

$- x^{2} \geq - \frac{1}{9}$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.2.1

$- x^{2} \geq - \frac{1}{9}$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- \frac{1}{9}}{- 1}$

ステップ 2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- \frac{1}{9}}{- 1}$

ステップ 2.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} \leq \frac{- \frac{1}{9}}{- 1}$

ステップ 2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x^{2} \leq \frac{\frac{1}{9}}{1}$

ステップ 2.2.3.2

$\frac{1}{9}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} \leq \frac{1}{9}$

ステップ 2.3

不等式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{\frac{1}{9}}$

ステップ 2.4

方程式を簡約します。

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ステップ 2.4.1

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.1.1

累乗根の下から項を取り出します。

$| x | \leq \sqrt{\frac{1}{9}}$

ステップ 2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1

$\sqrt{\frac{1}{9}}$ を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1.1

$\sqrt{\frac{1}{9}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$ に書き換えます。

$| x | \leq \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$

ステップ 2.4.2.1.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$| x | \leq \frac{1}{\sqrt{9}}$

ステップ 2.4.2.1.3

分母を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1.3.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$| x | \leq \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

ステップ 2.4.2.1.3.2

累乗根の下から項を取り出します。

$| x | \leq \frac{1}{| 3 |}$

ステップ 2.4.2.1.3.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $3$ の間の距離は $3$ です。

$| x | \leq \frac{1}{3}$

ステップ 2.5

$| x | \leq \frac{1}{3}$ を区分で書きます。

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ステップ 2.5.1

1番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負でない場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 2.5.2

$x$ が負でない区分では、絶対値を削除します。

$x \leq \frac{1}{3}$

ステップ 2.5.3

2番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負になる場所を求めます。

$x < 0$

ステップ 2.5.4

$x$ が負である区分では、絶対値を取り除き $- 1$ を掛けます。

$- x \leq \frac{1}{3}$

ステップ 2.5.5

区分で書きます。

${\begin{cases} x \leq \frac{1}{3} & x \geq 0 \\ - x \leq \frac{1}{3} & x < 0 \end{cases}$

ステップ 2.6

$x \leq \frac{1}{3}$ と $x \geq 0$ の交点を求めます。

$0 \leq x \leq \frac{1}{3}$

ステップ 2.7

$x < 0$ のとき、 $- x \leq \frac{1}{3}$ を解きます。

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ステップ 2.7.1

$- x \leq \frac{1}{3}$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.7.1.1

$- x \leq \frac{1}{3}$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\frac{1}{3}}{- 1}$

ステップ 2.7.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.7.1.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} \geq \frac{\frac{1}{3}}{- 1}$

ステップ 2.7.1.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \geq \frac{\frac{1}{3}}{- 1}$

ステップ 2.7.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.7.1.3.1

$\frac{\frac{1}{3}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$x \geq - 1 \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 2.7.1.3.2

$- 1 \cdot \frac{1}{3}$ を $- \frac{1}{3}$ に書き換えます。

$x \geq - \frac{1}{3}$

ステップ 2.7.2

$x \geq - \frac{1}{3}$ と $x < 0$ の交点を求めます。

$- \frac{1}{3} \leq x < 0$

ステップ 2.8

解の和集合を求めます。

$- \frac{1}{3} \leq x \leq \frac{1}{3}$

ステップ 3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$[- \frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$

集合の内包的記法：

${x | - \frac{1}{3} \leq x \leq \frac{1}{3}}$

ステップ 4

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$[0, \frac{1}{3}]$

集合の内包的記法：

${y | 0 \leq y \leq \frac{1}{3}}$

ステップ 5

定義域と値域を判定します。

定義域： $[- \frac{1}{3}, \frac{1}{3}], {x | - \frac{1}{3} \leq x \leq \frac{1}{3}}$

値域： $[0, \frac{1}{3}], {y | 0 \leq y \leq \frac{1}{3}}$

ステップ 6

代数 例

代数例