代数例

$4 x^{2} + 1 \geq 4 x$

ステップ 1

不等式の両辺から $4 x$ を引きます。

$4 x^{2} + 1 - 4 x \geq 0$

ステップ 2

不等式を方程式に変換します。

$4 x^{2} + 1 - 4 x = 0$

ステップ 3

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 3.1

項を並べ替えます。

$4 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

ステップ 3.2

$4 x^{2}$ を ${(2 x)}^{2}$ に書き換えます。

${(2 x)}^{2} - 4 x + 1 = 0$

ステップ 3.3

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

${(2 x)}^{2} - 4 x + 1^{2} = 0$

ステップ 3.4

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 x = 2 \cdot (2 x) \cdot 1$

ステップ 3.5

多項式を書き換えます。

${(2 x)}^{2} - 2 \cdot (2 x) \cdot 1 + 1^{2} = 0$

ステップ 3.6

$a = 2 x$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

${(2 x - 1)}^{2} = 0$

ステップ 4

$2 x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 x - 1 = 0$

ステップ 5

$x$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 x = 1$

ステップ 5.2

$2 x = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.1

$2 x = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 5.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{2}$

ステップ 6

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

ステップ 7

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 7.1

区間 $x < \frac{1}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.1.1

区間 $x < \frac{1}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 7.1.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$4 {(0)}^{2} + 1 \geq 4 (0)$

ステップ 7.1.3

左辺 $1$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 7.2

区間 $x > \frac{1}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.2.1

区間 $x > \frac{1}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$

ステップ 7.2.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

$4 {(3)}^{2} + 1 \geq 4 (3)$

ステップ 7.2.3

左辺 $37$ は右辺 $12$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 7.3

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < \frac{1}{2}$ 真

$x > \frac{1}{2}$ 真

$x < \frac{1}{2}$ 真

$x > \frac{1}{2}$ 真

ステップ 8

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq \frac{1}{2}$ または $x \geq \frac{1}{2}$

ステップ 9

区間をまとめます。

すべての実数

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

すべての実数

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

ステップ 11

代数 例

代数例