代数例

$\frac{x^{3} (x - 2)}{{(x + 3)}^{2}} < 0$

ステップ 1

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x^{3} = 0$

$x - 2 = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

ステップ 2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \sqrt[3]{0}$

ステップ 3

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

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ステップ 3.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 3.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 4

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 5

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 6

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 7

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = 0$

$x = 2$

$x = - 3$

ステップ 8

解をまとめます。

$x = 0, 2, - 3$

ステップ 9

$\frac{x^{3} (x - 2)}{{(x + 3)}^{2}}$ の定義域を求めます。

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ステップ 9.1

$\frac{x^{3} (x - 2)}{{(x + 3)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x + 3)}^{2} = 0$

ステップ 9.2

$x$ について解きます。

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ステップ 9.2.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 9.2.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 9.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

ステップ 10

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

ステップ 11

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 11.1

区間 $x < - 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.1.1

区間 $x < - 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 11.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

$\frac{{(- 6)}^{3} ((- 6) - 2)}{{((- 6) + 3)}^{2}} < 0$

ステップ 11.1.3

左辺 $192$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 11.2

区間 $- 3 < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.2.1

区間 $- 3 < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 11.2.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$\frac{{(- 2)}^{3} ((- 2) - 2)}{{((- 2) + 3)}^{2}} < 0$

ステップ 11.2.3

左辺 $32$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 11.3

区間 $0 < x < 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.3.1

区間 $0 < x < 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 1$

ステップ 11.3.2

$x$ を元の不等式の $1$ で置き換えます。

$\frac{{(1)}^{3} ((1) - 2)}{{((1) + 3)}^{2}} < 0$

ステップ 11.3.3

左辺 $- 0.0625$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 11.4

区間 $x > 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.4.1

区間 $x > 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 11.4.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$\frac{{(4)}^{3} ((4) - 2)}{{((4) + 3)}^{2}} < 0$

ステップ 11.4.3

左辺 $2.61224489$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 11.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 3$ 偽

$- 3 < x < 0$ 偽

$0 < x < 2$ 真

$x > 2$ 偽

$x < - 3$ 偽

$- 3 < x < 0$ 偽

$0 < x < 2$ 真

$x > 2$ 偽

ステップ 12

解はすべての真の区間からなります。

$0 < x < 2$

ステップ 13

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$0 < x < 2$

区間記号：

$(0, 2)$

ステップ 14

代数 例

代数例