代数例

$y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = \frac{2 y + 1}{y - 1}$

ステップ 2

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式に $y - 1$ を掛けます。

$(y - 1) (x) = (\frac{2 y + 1}{y - 1}) (y - 1)$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$(y - 1) (x)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y x - 1 x = (\frac{2 y + 1}{y - 1}) (y - 1)$

ステップ 2.2.1.2

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$y x - x = (\frac{2 y + 1}{y - 1}) (y - 1)$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$y - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

共通因数を約分します。

$y x - x = \frac{2 y + 1}{y - 1} (y - 1)$

ステップ 2.3.1.2

式を書き換えます。

$y x - x = 2 y + 1$

ステップ 2.4

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

方程式の両辺から $2 y$ を引きます。

$y x - x - 2 y = 1$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $x$ を足します。

$y x - 2 y = 1 + x$

ステップ 2.4.3

$y$ を $y x - 2 y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1

$y$ を $y x$ で因数分解します。

$y (x) - 2 y = 1 + x$

ステップ 2.4.3.2

$y$ を $- 2 y$ で因数分解します。

$y (x) + y \cdot - 2 = 1 + x$

ステップ 2.4.3.3

$y$ を $y (x) + y \cdot - 2$ で因数分解します。

$y (x - 2) = 1 + x$

ステップ 2.4.4

$y (x - 2) = 1 + x$ の各項を $x - 2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.1

$y (x - 2) = 1 + x$ の各項を $x - 2$ で割ります。

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{1}{x - 2} + \frac{x}{x - 2}$

ステップ 2.4.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.2.1

$x - 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{1}{x - 2} + \frac{x}{x - 2}$

ステップ 2.4.4.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{1}{x - 2} + \frac{x}{x - 2}$

ステップ 2.4.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{1 + x}{x - 2}$

ステップ 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 2}$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 2}$ が $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{1 + \frac{2 x + 1}{x - 1}}{(\frac{2 x + 1}{x - 1}) - 2}$

ステップ 4.2.3

括弧を削除します。

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{1 + \frac{2 x + 1}{x - 1}}{(\frac{2 x + 1}{x - 1}) - 2}$

ステップ 4.2.4

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

$\frac{1 + \frac{2 x + 1}{x - 1}}{\frac{2 x + 1}{x - 1} - 2}$ に $\frac{x - 1}{x - 1}$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{1 + \frac{2 x + 1}{x - 1}}{\frac{2 x + 1}{x - 1} - 2}$

ステップ 4.2.4.2

まとめる。

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (1 + \frac{2 x + 1}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{2 x + 1}{x - 1} - 2)}$

ステップ 4.2.5

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + (x - 1) (\frac{2 x + 1}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{2 x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 2}$

ステップ 4.2.6

約分で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.1

$x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.1.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + (x - 1) (\frac{2 x + 1}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{2 x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 2}$

ステップ 4.2.6.1.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + 2 x + 1}{(x - 1) (\frac{2 x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 2}$

ステップ 4.2.6.2

$x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.2.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + 2 x + 1}{(x - 1) (\frac{2 x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 2}$

ステップ 4.2.6.2.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + 2 x + 1}{2 x + 1 + (x - 1) \cdot - 2}$

ステップ 4.2.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.7.1

$x - 1$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{x - 1 + 2 x + 1}{2 x + 1 + (x - 1) \cdot - 2}$

ステップ 4.2.7.2

$x$ と $2 x$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x - 1 + 1}{2 x + 1 + (x - 1) \cdot - 2}$

ステップ 4.2.7.3

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x + 0}{2 x + 1 + (x - 1) \cdot - 2}$

ステップ 4.2.7.4

$3 x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{2 x + 1 + (x - 1) \cdot - 2}$

ステップ 4.2.8

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.8.1

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{2 x + 1 + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2}$

ステップ 4.2.8.2

$- 2$ を $x$ の左に移動させます。

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{2 x + 1 - 2 \cdot x - 1 \cdot - 2}$

ステップ 4.2.8.3

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{2 x + 1 - 2 \cdot x + 2}$

ステップ 4.2.8.4

$2 x$ から $2 x$ を引きます。

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{0 + 1 + 2}$

ステップ 4.2.8.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{1 + 2}$

ステップ 4.2.8.6

$1$ と $2$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{3}$

ステップ 4.2.9

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.9.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{3}$

ステップ 4.2.9.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = x$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{1 + x}{x - 2})$ の値を求めます。

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{2 (\frac{1 + x}{x - 2}) + 1}{(\frac{1 + x}{x - 2}) - 1}$

ステップ 4.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 2$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

$\frac{2 \frac{1 + x}{x - 2} + 1}{\frac{1 + x}{x - 2} - 1}$ に $\frac{x - 2}{x - 2}$ をかけます。

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{x - 2}{x - 2} \cdot \frac{2 (\frac{1 + x}{x - 2}) + 1}{\frac{1 + x}{x - 2} - 1}$

ステップ 4.3.3.2

まとめる。

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 + x}{x - 2}) + 1)}{(x - 2) (\frac{1 + x}{x - 2} - 1)}$

ステップ 4.3.4

分配則を当てはめます。

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 + x}{x - 2})) + (x - 2) \cdot 1}{(x - 2) (\frac{1 + x}{x - 2}) + (x - 2) \cdot - 1}$

ステップ 4.3.5

$x - 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 + x}{x - 2})) + (x - 2) \cdot 1}{(x - 2) (\frac{1 + x}{x - 2}) + (x - 2) \cdot - 1}$

ステップ 4.3.5.2

式を書き換えます。

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 + x}{x - 2})) + (x - 2) \cdot 1}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

ステップ 4.3.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.1

$x - 2$ を $(x - 2) \cdot 2 \frac{1 + x}{x - 2} + (x - 2) \cdot 1$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.1.1

$x - 2$ を $(x - 2) \cdot 2 \frac{1 + x}{x - 2}$ で因数分解します。

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 + x}{x - 2})) + (x - 2) \cdot 1}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

ステップ 4.3.6.1.2

$x - 2$ を $(x - 2) \cdot 1$ で因数分解します。

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 + x}{x - 2})) + (x - 2) (1)}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

ステップ 4.3.6.1.3

$x - 2$ を $(x - 2) (2 \frac{1 + x}{x - 2}) + (x - 2) (1)$ で因数分解します。

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 + x}{x - 2}) + 1)}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

ステップ 4.3.6.2

$2$ と $\frac{1 + x}{x - 2}$ をまとめます。

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{2 (1 + x)}{x - 2} + 1)}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

ステップ 4.3.6.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{2 (1 + x)}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

ステップ 4.3.6.4

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{2 (1 + x) + x - 2}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

ステップ 4.3.6.5

項を並べ替えます。

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{x + 2 (1 + x) - 2}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

ステップ 4.3.6.6

因数分解した形で $\frac{x + 2 (1 + x) - 2}{x - 2}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.6.1

分配則を当てはめます。

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{x + 2 \cdot 1 + 2 x - 2}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

ステップ 4.3.6.6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{x + 2 + 2 x - 2}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

ステップ 4.3.6.6.3

$x$ と $2 x$ をたし算します。

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x + 2 - 2}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

ステップ 4.3.6.6.4

$2$ から $2$ を引きます。

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x + 0}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

ステップ 4.3.6.6.5

$3 x$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

ステップ 4.3.7

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.1

分配則を当てはめます。

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{1 + x + x \cdot - 1 - 2 \cdot - 1}$

ステップ 4.3.7.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{1 + x - 1 \cdot x - 2 \cdot - 1}$

ステップ 4.3.7.3

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{1 + x - 1 \cdot x + 2}$

ステップ 4.3.7.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{1 + x - x + 2}$

ステップ 4.3.7.5

$1$ と $2$ をたし算します。

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{x - x + 3}$

ステップ 4.3.7.6

$x$ から $x$ を引きます。

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{0 + 3}$

ステップ 4.3.7.7

$0$ と $3$ をたし算します。

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{3}$

ステップ 4.3.8

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.8.1

$\frac{3 x}{x - 2}$ を $\frac{(x - 2) \frac{3 x}{x - 2}}{3}$ で因数分解します。

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{3 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{3}$

ステップ 4.3.8.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.8.2.1

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{3 (x)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{3}$

ステップ 4.3.8.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{3 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{3}$

ステップ 4.3.8.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

ステップ 4.3.8.3

$x - 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.8.3.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

ステップ 4.3.8.3.2

式を書き換えます。

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = x$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 2}$ は $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 2}$

代数 例

代数例