代数例

$2 x^{2} + 24 x \leq - 8 x - 120$

ステップ 1

$x$ を含むすべての項を不等式の左辺に移動させます。

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ステップ 1.1

不等式の両辺に $8 x$ を足します。

$2 x^{2} + 24 x + 8 x \leq - 120$

ステップ 1.2

$24 x$ と $8 x$ をたし算します。

$2 x^{2} + 32 x \leq - 120$

ステップ 2

不等式を方程式に変換します。

$2 x^{2} + 32 x = - 120$

ステップ 3

方程式の両辺に $120$ を足します。

$2 x^{2} + 32 x + 120 = 0$

ステップ 4

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 4.1

$2$ を $2 x^{2} + 32 x + 120$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.1

$2$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$2 (x^{2}) + 32 x + 120 = 0$

ステップ 4.1.2

$2$ を $32 x$ で因数分解します。

$2 (x^{2}) + 2 (16 x) + 120 = 0$

ステップ 4.1.3

$2$ を $120$ で因数分解します。

$2 x^{2} + 2 (16 x) + 2 \cdot 60 = 0$

ステップ 4.1.4

$2$ を $2 x^{2} + 2 (16 x)$ で因数分解します。

$2 (x^{2} + 16 x) + 2 \cdot 60 = 0$

ステップ 4.1.5

$2$ を $2 (x^{2} + 16 x) + 2 \cdot 60$ で因数分解します。

$2 (x^{2} + 16 x + 60) = 0$

ステップ 4.2

因数分解。

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ステップ 4.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 16 x + 60$ を因数分解します。

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ステップ 4.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $60$ で、その和が $16$ です。

$6, 10$

ステップ 4.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$2 ((x + 6) (x + 10)) = 0$

ステップ 4.2.2

不要な括弧を削除します。

$2 (x + 6) (x + 10) = 0$

ステップ 5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 6 = 0$

$x + 10 = 0$

ステップ 6

$x + 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$x + 6$ が $0$ に等しいとします。

$x + 6 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$x = - 6$

ステップ 7

$x + 10$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.1

$x + 10$ が $0$ に等しいとします。

$x + 10 = 0$

ステップ 7.2

方程式の両辺から $10$ を引きます。

$x = - 10$

ステップ 8

最終解は $2 (x + 6) (x + 10) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 6, - 10$

ステップ 9

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 10$

$- 10 < x < - 6$

$x > - 6$

ステップ 10

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 10.1

区間 $x < - 10$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.1.1

区間 $x < - 10$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 12$

ステップ 10.1.2

$x$ を元の不等式の $- 12$ で置き換えます。

$2 {(- 12)}^{2} + 24 (- 12) \leq - 8 \cdot - 12 - 120$

ステップ 10.1.3

左辺 $0$ は右辺 $- 24$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 10.2

区間 $- 10 < x < - 6$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.2.1

区間 $- 10 < x < - 6$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 8$

ステップ 10.2.2

$x$ を元の不等式の $- 8$ で置き換えます。

$2 {(- 8)}^{2} + 24 (- 8) \leq - 8 \cdot - 8 - 120$

ステップ 10.2.3

左辺 $- 64$ は右辺 $- 56$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 10.3

区間 $x > - 6$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.3.1

区間 $x > - 6$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 10.3.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$2 {(0)}^{2} + 24 (0) \leq - 8 \cdot 0 - 120$

ステップ 10.3.3

左辺 $0$ は右辺 $- 120$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 10.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 10$ 偽

$- 10 < x < - 6$ 真

$x > - 6$ 偽

$x < - 10$ 偽

$- 10 < x < - 6$ 真

$x > - 6$ 偽

ステップ 11

解はすべての真の区間からなります。

$- 10 \leq x \leq - 6$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$- 10 \leq x \leq - 6$

区間記号：

$[- 10, - 6]$

ステップ 13

代数 例

代数例