代数例

$3 x^{\frac{16}{5}} - 192 x^{2} = 0$

ステップ 1

各項にある共通因数 $x^{2}$ を求めます。

$3 {(x^{2})}^{\frac{8}{5}} - 192 x^{2}$

ステップ 2

$u$ を $x^{2}$ に代入します。

$3 {(u)}^{\frac{8}{5}} - 192 u = 0$

ステップ 3

$u$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$3 u$ を $3 u^{\frac{8}{5}} - 192 u$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.1

$3 u$ を $3 u^{\frac{8}{5}}$ で因数分解します。

$3 u (u^{\frac{3}{5}}) - 192 u = 0$

ステップ 3.1.1.2

$3 u$ を $- 192 u$ で因数分解します。

$3 u (u^{\frac{3}{5}}) + 3 u (- 64) = 0$

ステップ 3.1.1.3

$3 u$ を $3 u (u^{\frac{3}{5}}) + 3 u (- 64)$ で因数分解します。

$3 u (u^{\frac{3}{5}} - 64) = 0$

ステップ 3.1.2

$u^{\frac{3}{5}}$ を ${(u^{\frac{1}{5}})}^{3}$ に書き換えます。

$3 u ({(u^{\frac{1}{5}})}^{3} - 64) = 0$

ステップ 3.1.3

$64$ を $4^{3}$ に書き換えます。

$3 u ({(u^{\frac{1}{5}})}^{3} - 4^{3}) = 0$

ステップ 3.1.4

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = u^{\frac{1}{5}}$ であり、 $b = 4$ です。

$3 u ((u^{\frac{1}{5}} - 4) ({(u^{\frac{1}{5}})}^{2} + u^{\frac{1}{5}} \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

ステップ 3.1.5

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.5.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.5.1.1

${(u^{\frac{1}{5}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.5.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$3 u ((u^{\frac{1}{5}} - 4) (u^{\frac{1}{5} \cdot 2} + u^{\frac{1}{5}} \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

ステップ 3.1.5.1.1.2

$\frac{1}{5}$ と $2$ をまとめます。

$3 u ((u^{\frac{1}{5}} - 4) (u^{\frac{2}{5}} + u^{\frac{1}{5}} \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

ステップ 3.1.5.1.2

$4$ を $u^{\frac{1}{5}}$ の左に移動させます。

$3 u ((u^{\frac{1}{5}} - 4) (u^{\frac{2}{5}} + 4 u^{\frac{1}{5}} + 4^{2})) = 0$

ステップ 3.1.5.1.3

$4$ を $2$ 乗します。

$3 u ((u^{\frac{1}{5}} - 4) (u^{\frac{2}{5}} + 4 u^{\frac{1}{5}} + 16)) = 0$

ステップ 3.1.5.1.4

項を並べ替えます。

$3 u ((u^{\frac{1}{5}} - 4) (4 u^{\frac{1}{5}} + u^{\frac{2}{5}} + 16)) = 0$

ステップ 3.1.5.2

不要な括弧を削除します。

$3 u (u^{\frac{1}{5}} - 4) (4 u^{\frac{1}{5}} + u^{\frac{2}{5}} + 16) = 0$

ステップ 3.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$u = 0$

$u^{\frac{1}{5}} - 4 = 0$

$4 u^{\frac{1}{5}} + u^{\frac{2}{5}} + 16 = 0$

ステップ 3.3

$u$ が $0$ に等しいとします。

$u = 0$

ステップ 3.4

$u^{\frac{1}{5}} - 4$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$u^{\frac{1}{5}} - 4$ が $0$ に等しいとします。

$u^{\frac{1}{5}} - 4 = 0$

ステップ 3.4.2

$u$ について $u^{\frac{1}{5}} - 4 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$u^{\frac{1}{5}} = 4$

ステップ 3.4.2.2

方程式の両辺を $5$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(u^{\frac{1}{5}})}^{5} = 4^{5}$

ステップ 3.4.2.3

指数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.3.1.1

${(u^{\frac{1}{5}})}^{5}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.3.1.1.1

${(u^{\frac{1}{5}})}^{5}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.3.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$u^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 4^{5}$

ステップ 3.4.2.3.1.1.1.2

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.3.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$u^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 4^{5}$

ステップ 3.4.2.3.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

$u^{1} = 4^{5}$

ステップ 3.4.2.3.1.1.2

簡約します。

$u = 4^{5}$

ステップ 3.4.2.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.3.2.1

$4$ を $5$ 乗します。

$u = 1024$

ステップ 3.5

$4 u^{\frac{1}{5}} + u^{\frac{2}{5}} + 16$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$4 u^{\frac{1}{5}} + u^{\frac{2}{5}} + 16$ が $0$ に等しいとします。

$4 u^{\frac{1}{5}} + u^{\frac{2}{5}} + 16 = 0$

ステップ 3.5.2

$u$ について $4 u^{\frac{1}{5}} + u^{\frac{2}{5}} + 16 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

各項にある共通因数 $u^{\frac{1}{5}}$ を求めます。

$4 u^{\frac{1}{5}} {(u^{\frac{1}{5}})}^{2} + 16$

ステップ 3.5.2.2

$u$ を $u^{\frac{1}{5}}$ に代入します。

$4 (u) {(u)}^{2} + 16 = 0$

ステップ 3.5.2.3

$u$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.3.1

指数を足して $u$ に ${(u)}^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.3.1.1

${(u)}^{2}$ を移動させます。

$4 ({(u)}^{2} u) + 16 = 0$

ステップ 3.5.2.3.1.2

${(u)}^{2}$ に $u$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.3.1.2.1

$u$ を $1$ 乗します。

$4 ({(u)}^{2} u^{1}) + 16 = 0$

ステップ 3.5.2.3.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 u^{2 + 1} + 16 = 0$

ステップ 3.5.2.3.1.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$4 u^{3} + 16 = 0$

ステップ 3.5.2.3.2

方程式の両辺から $16$ を引きます。

$4 u^{3} = - 16$

ステップ 3.5.2.3.3

方程式の両辺に $16$ を足します。

$4 u^{3} + 16 = 0$

ステップ 3.5.2.3.4

$4$ を $4 u^{3} + 16$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.3.4.1

$4$ を $4 u^{3}$ で因数分解します。

$4 (u^{3}) + 16 = 0$

ステップ 3.5.2.3.4.2

$4$ を $16$ で因数分解します。

$4 u^{3} + 4 \cdot 4 = 0$

ステップ 3.5.2.3.4.3

$4$ を $4 u^{3} + 4 \cdot 4$ で因数分解します。

$4 (u^{3} + 4) = 0$

ステップ 3.5.2.3.5

$4 (u^{3} + 4) = 0$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.3.5.1

$4 (u^{3} + 4) = 0$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 (u^{3} + 4)}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 3.5.2.3.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.3.5.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.3.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 (u^{3} + 4)}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 3.5.2.3.5.2.1.2

$u^{3} + 4$ を $1$ で割ります。

$u^{3} + 4 = \frac{0}{4}$

ステップ 3.5.2.3.5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.3.5.3.1

$0$ を $4$ で割ります。

$u^{3} + 4 = 0$

ステップ 3.5.2.3.6

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$u^{3} = - 4$

ステップ 3.5.2.3.7

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$u = \sqrt[3]{- 4}$

ステップ 3.5.2.3.8

$\sqrt[3]{- 4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.3.8.1

$- 4$ を ${(- 1)}^{3} \cdot 4$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.3.8.1.1

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$u = \sqrt[3]{- 1 (4)}$

ステップ 3.5.2.3.8.1.2

$- 1$ を ${(- 1)}^{3}$ に書き換えます。

$u = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 4}$

ステップ 3.5.2.3.8.2

累乗根の下から項を取り出します。

$u = - 1 \sqrt[3]{4}$

ステップ 3.5.2.3.8.3

$- 1 \sqrt[3]{4}$ を $- \sqrt[3]{4}$ に書き換えます。

$u = - \sqrt[3]{4}$

ステップ 3.5.2.4

$u$ を $u$ に代入します。

$u^{\frac{1}{5}} = - \sqrt[3]{4}$

ステップ 3.5.2.5

$u$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.5.1

方程式の両辺を $5$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(u^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(- \sqrt[3]{4})}^{5}$

ステップ 3.5.2.5.2

指数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.5.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.5.2.1.1

${(u^{\frac{1}{5}})}^{5}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.5.2.1.1.1

${(u^{\frac{1}{5}})}^{5}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.5.2.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$u^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(- \sqrt[3]{4})}^{5}$

ステップ 3.5.2.5.2.1.1.1.2

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.5.2.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$u^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(- \sqrt[3]{4})}^{5}$

ステップ 3.5.2.5.2.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

$u^{1} = {(- \sqrt[3]{4})}^{5}$

ステップ 3.5.2.5.2.1.1.2

簡約します。

$u = {(- \sqrt[3]{4})}^{5}$

ステップ 3.5.2.5.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.5.2.2.1

${(- \sqrt[3]{4})}^{5}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.5.2.2.1.1

積の法則を $- \sqrt[3]{4}$ に当てはめます。

$u = {(- 1)}^{5} {\sqrt[3]{4}}^{5}$

ステップ 3.5.2.5.2.2.1.2

$- 1$ を $5$ 乗します。

$u = - {\sqrt[3]{4}}^{5}$

ステップ 3.5.2.5.2.2.1.3

${\sqrt[3]{4}}^{5}$ を $\sqrt[3]{4^{5}}$ に書き換えます。

$u = - \sqrt[3]{4^{5}}$

ステップ 3.5.2.5.2.2.1.4

$4$ を $5$ 乗します。

$u = - \sqrt[3]{1024}$

ステップ 3.5.2.5.2.2.1.5

$1024$ を $8^{3} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.5.2.2.1.5.1

$512$ を $1024$ で因数分解します。

$u = - \sqrt[3]{512 (2)}$

ステップ 3.5.2.5.2.2.1.5.2

$512$ を $8^{3}$ に書き換えます。

$u = - \sqrt[3]{8^{3} \cdot 2}$

ステップ 3.5.2.5.2.2.1.6

累乗根の下から項を取り出します。

$u = - (8 \sqrt[3]{2})$

ステップ 3.5.2.5.2.2.1.7

$8$ に $- 1$ をかけます。

$u = - 8 \sqrt[3]{2}$

ステップ 3.6

最終解は $3 u (u^{\frac{1}{5}} - 4) (4 u^{\frac{1}{5}} + u^{\frac{2}{5}} + 16) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = 0, 1024, - 8 \sqrt[3]{2}$

ステップ 4

$x$ を $u$ に代入します。

$x^{2} = 0, 1024, - 8 \sqrt[3]{2}$

ステップ 5

$x$ の $x^{2} = 0$ についてを解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 5.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 5.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 5.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 6

$x$ の $x^{2} = 1024$ についてを解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{1024}$

ステップ 6.2

$\pm \sqrt{1024}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$1024$ を $32^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{32^{2}}$

ステップ 6.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 32$

ステップ 6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 32$

ステップ 6.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 32$

ステップ 6.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 32, - 32$

ステップ 7

$x$ の $x^{2} = - 8 \sqrt[3]{2}$ についてを解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- 8 \sqrt[3]{2}}$

ステップ 7.2

$\pm \sqrt{- 8 \sqrt[3]{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$- 8 \sqrt[3]{2}$ を ${(2 i)}^{2} \cdot (2 \sqrt[3]{2})$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$- 4$ を $- 8$ で因数分解します。

$x = \pm \sqrt{- 4 (2) \sqrt[3]{2}}$

ステップ 7.2.1.2

$- 4$ を ${(2 i)}^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{{(2 i)}^{2} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}$

ステップ 7.2.1.3

括弧を付けます。

$x = \pm \sqrt{{(2 i)}^{2} \cdot (2 \sqrt[3]{2})}$

ステップ 7.2.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 2 i \sqrt{2 \sqrt[3]{2}}$

ステップ 7.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2 i \sqrt{2 \sqrt[3]{2}}$

ステップ 7.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2 i \sqrt{2 \sqrt[3]{2}}$

ステップ 7.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2 i \sqrt{2 \sqrt[3]{2}}, - 2 i \sqrt{2 \sqrt[3]{2}}$

ステップ 8

すべての解をまとめます。

$x = 0, 32, - 32, 2 i \sqrt{2 \sqrt[3]{2}}, - 2 i \sqrt{2 \sqrt[3]{2}}$

代数 例

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