代数例

$\sqrt{9 y + 19} - \sqrt{6 y - 5} > 3$

ステップ 1

不等式の両辺に $\sqrt{6 y - 5}$ を足します。

$\sqrt{9 y + 19} > 3 + \sqrt{6 y - 5}$

ステップ 2

不等式の左辺から根を削除するため、不等式の両辺を2乗します。

${\sqrt{9 y + 19}}^{2} > {(3 + \sqrt{6 y - 5})}^{2}$

ステップ 3

不等式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{9 y + 19}$ を ${(9 y + 19)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(9 y + 19)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(3 + \sqrt{6 y - 5})}^{2}$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

${({(9 y + 19)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

${({(9 y + 19)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(9 y + 19)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(3 + \sqrt{6 y - 5})}^{2}$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(9 y + 19)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(3 + \sqrt{6 y - 5})}^{2}$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(9 y + 19)}^{1} > {(3 + \sqrt{6 y - 5})}^{2}$

ステップ 3.2.1.2

簡約します。

$9 y + 19 > {(3 + \sqrt{6 y - 5})}^{2}$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

${(3 + \sqrt{6 y - 5})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

${(3 + \sqrt{6 y - 5})}^{2}$ を $(3 + \sqrt{6 y - 5}) (3 + \sqrt{6 y - 5})$ に書き換えます。

$9 y + 19 > (3 + \sqrt{6 y - 5}) (3 + \sqrt{6 y - 5})$

ステップ 3.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(3 + \sqrt{6 y - 5}) (3 + \sqrt{6 y - 5})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$9 y + 19 > 3 (3 + \sqrt{6 y - 5}) + \sqrt{6 y - 5} (3 + \sqrt{6 y - 5})$

ステップ 3.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$9 y + 19 > 3 \cdot 3 + 3 \sqrt{6 y - 5} + \sqrt{6 y - 5} (3 + \sqrt{6 y - 5})$

ステップ 3.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$9 y + 19 > 3 \cdot 3 + 3 \sqrt{6 y - 5} + \sqrt{6 y - 5} \cdot 3 + \sqrt{6 y - 5} \sqrt{6 y - 5}$

ステップ 3.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.3.1.1

$3$ に $3$ をかけます。

$9 y + 19 > 9 + 3 \sqrt{6 y - 5} + \sqrt{6 y - 5} \cdot 3 + \sqrt{6 y - 5} \sqrt{6 y - 5}$

ステップ 3.3.1.3.1.2

$3$ を $\sqrt{6 y - 5}$ の左に移動させます。

$9 y + 19 > 9 + 3 \sqrt{6 y - 5} + 3 \cdot \sqrt{6 y - 5} + \sqrt{6 y - 5} \sqrt{6 y - 5}$

ステップ 3.3.1.3.1.3

$\sqrt{6 y - 5} \sqrt{6 y - 5}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.3.1.3.1

$\sqrt{6 y - 5}$ を $1$ 乗します。

$9 y + 19 > 9 + 3 \sqrt{6 y - 5} + 3 \sqrt{6 y - 5} + {\sqrt{6 y - 5}}^{1} \sqrt{6 y - 5}$

ステップ 3.3.1.3.1.3.2

$\sqrt{6 y - 5}$ を $1$ 乗します。

$9 y + 19 > 9 + 3 \sqrt{6 y - 5} + 3 \sqrt{6 y - 5} + {\sqrt{6 y - 5}}^{1} {\sqrt{6 y - 5}}^{1}$

ステップ 3.3.1.3.1.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$9 y + 19 > 9 + 3 \sqrt{6 y - 5} + 3 \sqrt{6 y - 5} + {\sqrt{6 y - 5}}^{1 + 1}$

ステップ 3.3.1.3.1.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$9 y + 19 > 9 + 3 \sqrt{6 y - 5} + 3 \sqrt{6 y - 5} + {\sqrt{6 y - 5}}^{2}$

ステップ 3.3.1.3.1.4

${\sqrt{6 y - 5}}^{2}$ を $6 y - 5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.3.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{6 y - 5}$ を ${(6 y - 5)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$9 y + 19 > 9 + 3 \sqrt{6 y - 5} + 3 \sqrt{6 y - 5} + {({(6 y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

ステップ 3.3.1.3.1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$9 y + 19 > 9 + 3 \sqrt{6 y - 5} + 3 \sqrt{6 y - 5} + {(6 y - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

ステップ 3.3.1.3.1.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$9 y + 19 > 9 + 3 \sqrt{6 y - 5} + 3 \sqrt{6 y - 5} + {(6 y - 5)}^{\frac{2}{2}}$

ステップ 3.3.1.3.1.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.3.1.4.4.1

共通因数を約分します。

$9 y + 19 > 9 + 3 \sqrt{6 y - 5} + 3 \sqrt{6 y - 5} + {(6 y - 5)}^{\frac{2}{2}}$

ステップ 3.3.1.3.1.4.4.2

式を書き換えます。

$9 y + 19 > 9 + 3 \sqrt{6 y - 5} + 3 \sqrt{6 y - 5} + {(6 y - 5)}^{1}$

ステップ 3.3.1.3.1.4.5

簡約します。

$9 y + 19 > 9 + 3 \sqrt{6 y - 5} + 3 \sqrt{6 y - 5} + 6 y - 5$

ステップ 3.3.1.3.2

$9$ から $5$ を引きます。

$9 y + 19 > 4 + 3 \sqrt{6 y - 5} + 3 \sqrt{6 y - 5} + 6 y$

ステップ 3.3.1.3.3

$3 \sqrt{6 y - 5}$ と $3 \sqrt{6 y - 5}$ をたし算します。

$9 y + 19 > 4 + 6 \sqrt{6 y - 5} + 6 y$

ステップ 4

$6 \sqrt{6 y - 5}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$6 \sqrt{6 y - 5}$ が不等式の左辺になるように書き換えます。

$4 + 6 \sqrt{6 y - 5} + 6 y < 9 y + 19$

ステップ 4.2

$6 \sqrt{6 y - 5}$ を含まないすべての項を不等式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

不等式の両辺から $4$ を引きます。

$6 \sqrt{6 y - 5} + 6 y < 9 y + 19 - 4$

ステップ 4.2.2

不等式の両辺から $6 y$ を引きます。

$6 \sqrt{6 y - 5} < 9 y + 19 - 4 - 6 y$

ステップ 4.2.3

$9 y$ から $6 y$ を引きます。

$6 \sqrt{6 y - 5} < 3 y + 19 - 4$

ステップ 4.2.4

$19$ から $4$ を引きます。

$6 \sqrt{6 y - 5} < 3 y + 15$

ステップ 5

不等式の左辺から根を削除するため、不等式の両辺を2乗します。

${(6 \sqrt{6 y - 5})}^{2} < {(3 y + 15)}^{2}$

ステップ 6

不等式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{6 y - 5}$ を ${(6 y - 5)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(6 {(6 y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {(3 y + 15)}^{2}$

ステップ 6.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

${(6 {(6 y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

積の法則を $6 {(6 y - 5)}^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

$6^{2} {({(6 y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {(3 y + 15)}^{2}$

ステップ 6.2.1.2

$6$ を $2$ 乗します。

$36 {({(6 y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {(3 y + 15)}^{2}$

ステップ 6.2.1.3

${({(6 y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$36 {(6 y - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(3 y + 15)}^{2}$

ステップ 6.2.1.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$36 {(6 y - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(3 y + 15)}^{2}$

ステップ 6.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$36 {(6 y - 5)}^{1} < {(3 y + 15)}^{2}$

ステップ 6.2.1.4

簡約します。

$36 (6 y - 5) < {(3 y + 15)}^{2}$

ステップ 6.2.1.5

分配則を当てはめます。

$36 (6 y) + 36 \cdot - 5 < {(3 y + 15)}^{2}$

ステップ 6.2.1.6

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.6.1

$6$ に $36$ をかけます。

$216 y + 36 \cdot - 5 < {(3 y + 15)}^{2}$

ステップ 6.2.1.6.2

$36$ に $- 5$ をかけます。

$216 y - 180 < {(3 y + 15)}^{2}$

ステップ 6.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

${(3 y + 15)}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1

${(3 y + 15)}^{2}$ を $(3 y + 15) (3 y + 15)$ に書き換えます。

$216 y - 180 < (3 y + 15) (3 y + 15)$

ステップ 6.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(3 y + 15) (3 y + 15)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$216 y - 180 < 3 y (3 y + 15) + 15 (3 y + 15)$

ステップ 6.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$216 y - 180 < 3 y (3 y) + 3 y \cdot 15 + 15 (3 y + 15)$

ステップ 6.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$216 y - 180 < 3 y (3 y) + 3 y \cdot 15 + 15 (3 y) + 15 \cdot 15$

ステップ 6.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$216 y - 180 < 3 \cdot 3 y \cdot y + 3 y \cdot 15 + 15 (3 y) + 15 \cdot 15$

ステップ 6.3.1.3.1.2

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.3.1.2.1

$y$ を移動させます。

$216 y - 180 < 3 \cdot 3 (y \cdot y) + 3 y \cdot 15 + 15 (3 y) + 15 \cdot 15$

ステップ 6.3.1.3.1.2.2

$y$ に $y$ をかけます。

$216 y - 180 < 3 \cdot 3 y^{2} + 3 y \cdot 15 + 15 (3 y) + 15 \cdot 15$

ステップ 6.3.1.3.1.3

$3$ に $3$ をかけます。

$216 y - 180 < 9 y^{2} + 3 y \cdot 15 + 15 (3 y) + 15 \cdot 15$

ステップ 6.3.1.3.1.4

$15$ に $3$ をかけます。

$216 y - 180 < 9 y^{2} + 45 y + 15 (3 y) + 15 \cdot 15$

ステップ 6.3.1.3.1.5

$3$ に $15$ をかけます。

$216 y - 180 < 9 y^{2} + 45 y + 45 y + 15 \cdot 15$

ステップ 6.3.1.3.1.6

$15$ に $15$ をかけます。

$216 y - 180 < 9 y^{2} + 45 y + 45 y + 225$

ステップ 6.3.1.3.2

$45 y$ と $45 y$ をたし算します。

$216 y - 180 < 9 y^{2} + 90 y + 225$

ステップ 7

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$y$ が不等式の左辺になるように書き換えます。

$9 y^{2} + 90 y + 225 > 216 y - 180$

ステップ 7.2

$y$ を含むすべての項を不等式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

不等式の両辺から $216 y$ を引きます。

$9 y^{2} + 90 y + 225 - 216 y > - 180$

ステップ 7.2.2

$90 y$ から $216 y$ を引きます。

$9 y^{2} - 126 y + 225 > - 180$

ステップ 7.3

不等式を方程式に変換します。

$9 y^{2} - 126 y + 225 = - 180$

ステップ 7.4

方程式の両辺に $180$ を足します。

$9 y^{2} - 126 y + 225 + 180 = 0$

ステップ 7.5

$225$ と $180$ をたし算します。

$9 y^{2} - 126 y + 405 = 0$

ステップ 7.6

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.1

$9$ を $9 y^{2} - 126 y + 405$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.1.1

$9$ を $9 y^{2}$ で因数分解します。

$9 (y^{2}) - 126 y + 405 = 0$

ステップ 7.6.1.2

$9$ を $- 126 y$ で因数分解します。

$9 (y^{2}) + 9 (- 14 y) + 405 = 0$

ステップ 7.6.1.3

$9$ を $405$ で因数分解します。

$9 y^{2} + 9 (- 14 y) + 9 \cdot 45 = 0$

ステップ 7.6.1.4

$9$ を $9 y^{2} + 9 (- 14 y)$ で因数分解します。

$9 (y^{2} - 14 y) + 9 \cdot 45 = 0$

ステップ 7.6.1.5

$9$ を $9 (y^{2} - 14 y) + 9 \cdot 45$ で因数分解します。

$9 (y^{2} - 14 y + 45) = 0$

ステップ 7.6.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.2.1

たすき掛けを利用して $y^{2} - 14 y + 45$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $45$ で、その和が $- 14$ です。

$- 9, - 5$

ステップ 7.6.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$9 ((y - 9) (y - 5)) = 0$

ステップ 7.6.2.2

不要な括弧を削除します。

$9 (y - 9) (y - 5) = 0$

ステップ 7.7

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$y - 9 = 0$

$y - 5 = 0$

ステップ 7.8

$y - 9$ を $0$ に等しくし、 $y$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.1

$y - 9$ が $0$ に等しいとします。

$y - 9 = 0$

ステップ 7.8.2

方程式の両辺に $9$ を足します。

$y = 9$

ステップ 7.9

$y - 5$ を $0$ に等しくし、 $y$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.9.1

$y - 5$ が $0$ に等しいとします。

$y - 5 = 0$

ステップ 7.9.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$y = 5$

ステップ 7.10

最終解は $9 (y - 9) (y - 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$y = 9, 5$

ステップ 8

$\sqrt{9 y + 19} - \sqrt{6 y - 5} - 3$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$\sqrt{9 y + 19}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$9 y + 19 \geq 0$

ステップ 8.2

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

不等式の両辺から $19$ を引きます。

$9 y \geq - 19$

ステップ 8.2.2

$9 y \geq - 19$ の各項を $9$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$9 y \geq - 19$ の各項を $9$ で割ります。

$\frac{9 y}{9} \geq \frac{- 19}{9}$

ステップ 8.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.2.1

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{9 y}{9} \geq \frac{- 19}{9}$

ステップ 8.2.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y \geq \frac{- 19}{9}$

ステップ 8.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y \geq - \frac{19}{9}$

ステップ 8.3

$\sqrt{6 y - 5}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$6 y - 5 \geq 0$

ステップ 8.4

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1

不等式の両辺に $5$ を足します。

$6 y \geq 5$

ステップ 8.4.2

$6 y \geq 5$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1

$6 y \geq 5$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 y}{6} \geq \frac{5}{6}$

ステップ 8.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 y}{6} \geq \frac{5}{6}$

ステップ 8.4.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y \geq \frac{5}{6}$

ステップ 8.5

定義域は式が定義になる $y$ のすべての値です。

$[\frac{5}{6}, \infty)$

ステップ 9

各根を利用して検定区間を作成します。

$y < \frac{5}{6}$

$\frac{5}{6} < y < 5$

$5 < y < 9$

$y > 9$

ステップ 10

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

区間 $y < \frac{5}{6}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

区間 $y < \frac{5}{6}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$y = 0$

ステップ 10.1.2

$y$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\sqrt{9 (0) + 19} - \sqrt{6 (0) - 5} > 3$

ステップ 10.1.3

左辺は右辺に等しくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 10.2

区間 $\frac{5}{6} < y < 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

区間 $\frac{5}{6} < y < 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$y = 3$

ステップ 10.2.2

$y$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

$\sqrt{9 (3) + 19} - \sqrt{6 (3) - 5} > 3$

ステップ 10.2.3

左辺 $3.1767787$ は右辺 $3$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 10.3

区間 $5 < y < 9$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

区間 $5 < y < 9$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$y = 7$

ステップ 10.3.2

$y$ を元の不等式の $7$ で置き換えます。

$\sqrt{9 (7) + 19} - \sqrt{6 (7) - 5} > 3$

ステップ 10.3.3

左辺 $2.9726226$ は右辺 $3$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 10.4

区間 $y > 9$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1

区間 $y > 9$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$y = 12$

ステップ 10.4.2

$y$ を元の不等式の $12$ で置き換えます。

$\sqrt{9 (12) + 19} - \sqrt{6 (12) - 5} > 3$

ステップ 10.4.3

左辺 $3.08407489$ は右辺 $3$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 10.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$y < \frac{5}{6}$ 偽

$\frac{5}{6} < y < 5$ 真

$5 < y < 9$ 偽

$y > 9$ 真

$y < \frac{5}{6}$ 偽

$\frac{5}{6} < y < 5$ 真

$5 < y < 9$ 偽

$y > 9$ 真

ステップ 11

解はすべての真の区間からなります。

$\frac{5}{6} < y < 5$ または $y > 9$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$\frac{5}{6} < y < 5 or y > 9$

区間記号：

$(\frac{5}{6}, 5) \cup (9, \infty)$

ステップ 13

代数 例

代数例