代数例

$x^{4} + x^{2} - 90 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

${(x^{2})}^{2} + x^{2} - 90 = 0$

ステップ 1.2

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$u^{2} + u - 90 = 0$

ステップ 1.3

たすき掛けを利用して $u^{2} + u - 90$ を因数分解します。

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ステップ 1.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 90$ で、その和が $1$ です。

$- 9, 10$

ステップ 1.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 9) (u + 10) = 0$

ステップ 1.4

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$(x^{2} - 9) (x^{2} + 10) = 0$

ステップ 1.5

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$(x^{2} - 3^{2}) (x^{2} + 10) = 0$

ステップ 1.6

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 10) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 10 = 0$

ステップ 3

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 4

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 4.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 5

$x^{2} + 10$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$x^{2} + 10$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 10 = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $x^{2} + 10 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺から $10$ を引きます。

$x^{2} = - 10$

ステップ 5.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- 10}$

ステップ 5.2.3

$\pm \sqrt{- 10}$ を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$- 10$ を $- 1 (10)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (10)}$

ステップ 5.2.3.2

$\sqrt{- 1 (10)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{10}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{10}$

ステップ 5.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \sqrt{10}$

ステップ 5.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = i \sqrt{10}$

ステップ 5.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - i \sqrt{10}$

ステップ 5.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = i \sqrt{10}, - i \sqrt{10}$

ステップ 6

最終解は $(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 10) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 3, 3, i \sqrt{10}, - i \sqrt{10}$

代数 例

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