代数例

$3 x^{2} - 1 \geq - 2 x$

ステップ 1

不等式の両辺に $2 x$ を足します。

$3 x^{2} - 1 + 2 x \geq 0$

ステップ 2

不等式を方程式に変換します。

$3 x^{2} - 1 + 2 x = 0$

ステップ 3

群による因数分解。

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ステップ 3.1

項を並べ替えます。

$3 x^{2} + 2 x - 1 = 0$

ステップ 3.2

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ で和が $b = 2$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 3.2.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$3 x^{2} + 2 (x) - 1 = 0$

ステップ 3.2.2

$2$ を $- 1$ プラス $3$ に書き換える

$3 x^{2} + (- 1 + 3) x - 1 = 0$

ステップ 3.2.3

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} - 1 x + 3 x - 1 = 0$

ステップ 3.3

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 3.3.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(3 x^{2} - 1 x) + 3 x - 1 = 0$

ステップ 3.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x (3 x - 1) + 1 (3 x - 1) = 0$

ステップ 3.4

最大公約数 $3 x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(3 x - 1) (x + 1) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 5

$3 x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$3 x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$3 x - 1 = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $3 x - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$3 x = 1$

ステップ 5.2.2

$3 x = 1$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$3 x = 1$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{3}$

ステップ 6

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 7

最終解は $(3 x - 1) (x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{1}{3}, - 1$

ステップ 8

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 1$

$- 1 < x < \frac{1}{3}$

$x > \frac{1}{3}$

ステップ 9

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 9.1

区間 $x < - 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.1.1

区間 $x < - 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 9.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$3 {(- 4)}^{2} - 1 \geq - 2 \cdot - 4$

ステップ 9.1.3

左辺 $47$ は右辺 $8$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 9.2

区間 $- 1 < x < \frac{1}{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.2.1

区間 $- 1 < x < \frac{1}{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 9.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$3 {(0)}^{2} - 1 \geq - 2 \cdot 0$

ステップ 9.2.3

左辺 $- 1$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 9.3

区間 $x > \frac{1}{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.3.1

区間 $x > \frac{1}{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$

ステップ 9.3.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

$3 {(3)}^{2} - 1 \geq - 2 \cdot 3$

ステップ 9.3.3

左辺 $26$ は右辺 $- 6$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 9.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 1$ 真

$- 1 < x < \frac{1}{3}$ 偽

$x > \frac{1}{3}$ 真

$x < - 1$ 真

$- 1 < x < \frac{1}{3}$ 偽

$x > \frac{1}{3}$ 真

ステップ 10

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq - 1$ または $x \geq \frac{1}{3}$

ステップ 11

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$x \leq - 1 or x \geq \frac{1}{3}$

区間記号：

$(- \infty, - 1] \cup [\frac{1}{3}, \infty)$

ステップ 12

代数 例

代数例