代数例

$\frac{2^{x} + 2^{- x}}{2} = 3$

ステップ 1

両辺に $2$ を掛けます。

$\frac{2^{x} + 2^{- x}}{2} \cdot 2 = 3 \cdot 2$

ステップ 2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2^{x} + 2^{- x}}{2} \cdot 2 = 3 \cdot 2$

ステップ 2.1.1.2

式を書き換えます。

$2^{x} + 2^{- x} = 3 \cdot 2$

ステップ 2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$3$ に $2$ をかけます。

$2^{x} + 2^{- x} = 6$

ステップ 3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2^{- x}$ を累乗法として書き換えます。

$2^{x} + {(2^{x})}^{- 1} = 6$

ステップ 3.2

$u$ を $2^{x}$ に代入します。

$u + u^{- 1} = 6$

ステップ 3.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$u + \frac{1}{u} = 6$

ステップ 3.4

$u$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, u, 1$

ステップ 3.4.1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$u$

ステップ 3.4.2

$u + \frac{1}{u} = 6$ の各項に $u$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$u + \frac{1}{u} = 6$ の各項に $u$ を掛けます。

$u \cdot u + \frac{1}{u} u = 6 u$

ステップ 3.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1.1

$u$ に $u$ をかけます。

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 6 u$

ステップ 3.4.2.2.1.2

$u$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 6 u$

ステップ 3.4.2.2.1.2.2

式を書き換えます。

$u^{2} + 1 = 6 u$

ステップ 3.4.3

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

方程式の両辺から $6 u$ を引きます。

$u^{2} + 1 - 6 u = 0$

ステップ 3.4.3.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.4.3.3

$a = 1$ 、 $b = - 6$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $u$ の値を求めます。

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.4.1.1

$- 6$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.3.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.3.4.1.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.3.4.1.3

$36$ から $4$ を引きます。

$u = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.3.4.1.4

$32$ を $4^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.4.1.4.1

$16$ を $32$ で因数分解します。

$u = \frac{6 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.3.4.1.4.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$u = \frac{6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.3.4.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$u = \frac{6 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.3.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.4.3.4.3

$\frac{6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ を簡約します。

$u = 3 \pm 2 \sqrt{2}$

ステップ 3.4.3.5

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$u = 3 + 2 \sqrt{2}, 3 - 2 \sqrt{2}$

ステップ 3.5

$3 + 2 \sqrt{2}$ を $u = 2^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$3 + 2 \sqrt{2} = 2^{x}$

ステップ 3.6

$3 + 2 \sqrt{2} = 2^{x}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

方程式を $2^{x} = 3 + 2 \sqrt{2}$ として書き換えます。

$2^{x} = 3 + 2 \sqrt{2}$

ステップ 3.6.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (2^{x}) = \ln (3 + 2 \sqrt{2})$

ステップ 3.6.3

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (2^{x})$ を展開します。

$x \ln (2) = \ln (3 + 2 \sqrt{2})$

ステップ 3.6.4

$x \ln (2) = \ln (3 + 2 \sqrt{2})$ の各項を $\ln (2)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.1

$x \ln (2) = \ln (3 + 2 \sqrt{2})$ の各項を $\ln (2)$ で割ります。

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (3 + 2 \sqrt{2})}{\ln (2)}$

ステップ 3.6.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.2.1

$\ln (2)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (3 + 2 \sqrt{2})}{\ln (2)}$

ステップ 3.6.4.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\ln (3 + 2 \sqrt{2})}{\ln (2)}$

ステップ 3.7

$3 - 2 \sqrt{2}$ を $u = 2^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$3 - 2 \sqrt{2} = 2^{x}$

ステップ 3.8

$3 - 2 \sqrt{2} = 2^{x}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1

方程式を $2^{x} = 3 - 2 \sqrt{2}$ として書き換えます。

$2^{x} = 3 - 2 \sqrt{2}$

ステップ 3.8.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (2^{x}) = \ln (3 - 2 \sqrt{2})$

ステップ 3.8.3

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (2^{x})$ を展開します。

$x \ln (2) = \ln (3 - 2 \sqrt{2})$

ステップ 3.8.4

$x \ln (2) = \ln (3 - 2 \sqrt{2})$ の各項を $\ln (2)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.4.1

$x \ln (2) = \ln (3 - 2 \sqrt{2})$ の各項を $\ln (2)$ で割ります。

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (3 - 2 \sqrt{2})}{\ln (2)}$

ステップ 3.8.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.4.2.1

$\ln (2)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (3 - 2 \sqrt{2})}{\ln (2)}$

ステップ 3.8.4.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\ln (3 - 2 \sqrt{2})}{\ln (2)}$

ステップ 3.9

方程式が真になるような解をリストします。

$x = \frac{\ln (3 + 2 \sqrt{2})}{\ln (2)}, \frac{\ln (3 - 2 \sqrt{2})}{\ln (2)}$

ステップ 4

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \frac{\ln (3 + 2 \sqrt{2})}{\ln (2)}, \frac{\ln (3 - 2 \sqrt{2})}{\ln (2)}$

10進法形式：

$x = 2.54310660 \dots, - 2.54310660 \dots$

代数 例

代数例