代数例

$9^{x + \frac{1}{2}} - 4 \cdot 3^{x} + 1 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

$9^{x + \frac{1}{2}}$ を $9^{x} \cdot 9^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$9^{x} \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 3^{x} + 1 = 0$

ステップ 1.2

$9^{x}$ を ${(3^{2})}^{x}$ に書き換えます。

${(3^{2})}^{x} \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 3^{x} + 1 = 0$

ステップ 1.3

${(3^{2})}^{x}$ を ${(3^{x})}^{2}$ に書き換えます。

${(3^{x})}^{2} \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 3^{x} + 1 = 0$

ステップ 1.4

$u = 3^{x}$ とします。 $u$ を $3^{x}$ に代入します。

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ステップ 1.4.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$u^{2} \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot u + 1 = 0$

ステップ 1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$u^{2} \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 4 \cdot u + 1 = 0$

ステップ 1.4.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.3.1

共通因数を約分します。

$u^{2} \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 4 \cdot u + 1 = 0$

ステップ 1.4.3.2

式を書き換えます。

$u^{2} \cdot 3 - 4 \cdot u + 1 = 0$

ステップ 1.4.4

指数を求めます。

$u^{2} \cdot 3 - 4 \cdot u + 1 = 0$

ステップ 1.4.5

$3$ を $u^{2}$ の左に移動させます。

$3 u^{2} - 4 u + 1 = 0$

ステップ 1.5

群による因数分解。

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ステップ 1.5.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ で和が $b = - 4$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 1.5.1.1

$- 4$ を $- 4 u$ で因数分解します。

$3 u^{2} - 4 u + 1 = 0$

ステップ 1.5.1.2

$- 4$ を $- 1$ プラス $- 3$ に書き換える

$3 u^{2} + (- 1 - 3) u + 1 = 0$

ステップ 1.5.1.3

分配則を当てはめます。

$3 u^{2} - 1 u - 3 u + 1 = 0$

ステップ 1.5.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.5.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(3 u^{2} - 1 u) - 3 u + 1 = 0$

ステップ 1.5.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$u (3 u - 1) - (3 u - 1) = 0$

ステップ 1.5.3

最大公約数 $3 u - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(3 u - 1) (u - 1) = 0$

ステップ 1.6

$u$ のすべての発生を $3^{x}$ で置き換えます。

$(3 \cdot 3^{x} - 1) (3^{x} - 1) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 \cdot 3^{x} - 1 = 0$

$3^{x} - 1 = 0$

ステップ 3

$3 \cdot 3^{x} - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$3 \cdot 3^{x} - 1$ が $0$ に等しいとします。

$3 \cdot 3^{x} - 1 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について $3 \cdot 3^{x} - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

$3$ に $3^{x}$ をかけます。

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ステップ 3.2.1.1

$3$ を $1$ 乗します。

$3^{1} \cdot 3^{x} - 1 = 0$

ステップ 3.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3^{1 + x} - 1 = 0$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$3^{1 + x} = 1$

ステップ 3.2.3

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (3^{1 + x}) = \ln (1)$

ステップ 3.2.4

$1 + x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (3^{1 + x})$ を展開します。

$(1 + x) \ln (3) = \ln (1)$

ステップ 3.2.5

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.5.1

$(1 + x) \ln (3)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.5.1.1

分配則を当てはめます。

$1 \ln (3) + x \ln (3) = \ln (1)$

ステップ 3.2.5.1.2

$\ln (3)$ に $1$ をかけます。

$\ln (3) + x \ln (3) = \ln (1)$

ステップ 3.2.6

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.6.1

$1$ の自然対数は $0$ です。

$\ln (3) + x \ln (3) = 0$

ステップ 3.2.7

$\ln (3)$ と $x \ln (3)$ を並べ替えます。

$x \ln (3) + \ln (3) = 0$

ステップ 3.2.8

方程式の両辺から $\ln (3)$ を引きます。

$x \ln (3) = - \ln (3)$

ステップ 3.2.9

$x \ln (3) = - \ln (3)$ の各項を $\ln (3)$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.9.1

$x \ln (3) = - \ln (3)$ の各項を $\ln (3)$ で割ります。

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- \ln (3)}{\ln (3)}$

ステップ 3.2.9.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.9.2.1

$\ln (3)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.9.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- \ln (3)}{\ln (3)}$

ステップ 3.2.9.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- \ln (3)}{\ln (3)}$

ステップ 3.2.9.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.9.3.1

$\ln (3)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.9.3.1.1

共通因数を約分します。

$x = \frac{- \ln (3)}{\ln (3)}$

ステップ 3.2.9.3.1.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$x = - 1$

ステップ 4

$3^{x} - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$3^{x} - 1$ が $0$ に等しいとします。

$3^{x} - 1 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $3^{x} - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$3^{x} = 1$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (3^{x}) = \ln (1)$

ステップ 4.2.3

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (3^{x})$ を展開します。

$x \ln (3) = \ln (1)$

ステップ 4.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.4.1

$1$ の自然対数は $0$ です。

$x \ln (3) = 0$

ステップ 4.2.5

$x \ln (3) = 0$ の各項を $\ln (3)$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.2.5.1

$x \ln (3) = 0$ の各項を $\ln (3)$ で割ります。

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

ステップ 4.2.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.2.1

$\ln (3)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

ステップ 4.2.5.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{\ln (3)}$

ステップ 4.2.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.5.3.1

$0$ を $\ln (3)$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 5

最終解は $(3 \cdot 3^{x} - 1) (3^{x} - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1, 0$

代数 例

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