代数例

$f (x) = e^{x} - 3$

ステップ 1

$f (x) = e^{x} - 3$ を方程式で書きます。

$y = e^{x} - 3$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = e^{y} - 3$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $e^{y} - 3 = x$ として書き換えます。

$e^{y} - 3 = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$e^{y} = x + 3$

ステップ 3.3

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{y}) = \ln (x + 3)$

ステップ 3.4

左辺を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{y})$ を展開します。

$y \ln (e) = \ln (x + 3)$

ステップ 3.4.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$y \cdot 1 = \ln (x + 3)$

ステップ 3.4.3

$y$ に $1$ をかけます。

$y = \ln (x + 3)$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \ln (x + 3)$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \ln (x + 3)$ が $f (x) = e^{x} - 3$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (e^{x} - 3)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (e^{x} - 3) = \ln ((e^{x} - 3) + 3)$

ステップ 5.2.3

$(e^{x} - 3) + 3$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$- 3$ と $3$ をたし算します。

$f^{- 1} (e^{x} - 3) = \ln (e^{x} + 0)$

ステップ 5.2.3.2

$e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (e^{x} - 3) = \ln (e^{x})$

ステップ 5.2.4

対数の法則を利用して指数の外に $x$ を移動します。

$f^{- 1} (e^{x} - 3) = x \ln (e)$

ステップ 5.2.5

$e$ の自然対数は $1$ です。

$f^{- 1} (e^{x} - 3) = x \cdot 1$

ステップ 5.2.6

$x$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (e^{x} - 3) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\ln (x + 3))$ の値を求めます。

$f (\ln (x + 3)) = e^{\ln (x + 3)} - 3$

ステップ 5.3.3

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\ln (x + 3)) = x + 3 - 3$

ステップ 5.3.4

$x + 3 - 3$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

$3$ から $3$ を引きます。

$f (\ln (x + 3)) = x + 0$

ステップ 5.3.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (\ln (x + 3)) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \ln (x + 3)$ は $f (x) = e^{x} - 3$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \ln (x + 3)$

代数 例

代数例