代数例

$\frac{x}{x^{2} - 1} - \frac{x + 3}{x^{2} - x - 2}$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

分母を簡約します。

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ステップ 1.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x}{x^{2} - 1^{2}} - \frac{x + 3}{x^{2} - x - 2}$

ステップ 1.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{x}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{x + 3}{x^{2} - x - 2}$

ステップ 1.2

たすき掛けを利用して $x^{2} - x - 2$ を因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 2$ で、その和が $- 1$ です。

$- 2, 1$

ステップ 1.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{x}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{x + 3}{(x - 2) (x + 1)}$

ステップ 2

$\frac{x}{(x + 1) (x - 1)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 2}{x - 2}$ を掛けます。

$\frac{x}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x + 3}{(x - 2) (x + 1)}$

ステップ 3

$- \frac{x + 3}{(x - 2) (x + 1)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 1}{x - 1}$ を掛けます。

$\frac{x}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x + 3}{(x - 2) (x + 1)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

ステップ 4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x + 1) (x - 1) (x - 2)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1

$\frac{x}{(x + 1) (x - 1)}$ に $\frac{x - 2}{x - 2}$ をかけます。

$\frac{x (x - 2)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)} - \frac{x + 3}{(x - 2) (x + 1)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

ステップ 4.2

$\frac{x + 3}{(x - 2) (x + 1)}$ に $\frac{x - 1}{x - 1}$ をかけます。

$\frac{x (x - 2)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)} - \frac{(x + 3) (x - 1)}{(x - 2) (x + 1) (x - 1)}$

ステップ 4.3

$(x - 2) (x + 1) (x - 1)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{x (x - 2)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)} - \frac{(x + 3) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x (x - 2) - (x + 3) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 - (x + 3) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

ステップ 6.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{2} + x \cdot - 2 - (x + 3) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

ステップ 6.3

$- 2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x - (x + 3) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

ステップ 6.4

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} - 2 x + (- x - 1 \cdot 3) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

ステップ 6.5

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 2 x + (- x - 3) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

ステップ 6.6

分配法則（FOIL法）を使って $(- x - 3) (x - 1)$ を展開します。

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ステップ 6.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} - 2 x - x (x - 1) - 3 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

ステップ 6.6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} - 2 x - x \cdot x - x \cdot - 1 - 3 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

ステップ 6.6.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} - 2 x - x \cdot x - x \cdot - 1 - 3 x - 3 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

ステップ 6.7

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 6.7.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.7.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 6.7.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{x^{2} - 2 x - (x \cdot x) - x \cdot - 1 - 3 x - 3 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

ステップ 6.7.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 2 x - x^{2} - x \cdot - 1 - 3 x - 3 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

ステップ 6.7.1.2

$- x \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 6.7.1.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 2 x - x^{2} + 1 x - 3 x - 3 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

ステップ 6.7.1.2.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 2 x - x^{2} + x - 3 x - 3 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

ステップ 6.7.1.3

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 2 x - x^{2} + x - 3 x + 3}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

ステップ 6.7.2

$x$ から $3 x$ を引きます。

$\frac{x^{2} - 2 x - x^{2} - 2 x + 3}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

ステップ 6.8

$x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{- 2 x + 0 - 2 x + 3}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

ステップ 6.9

$- 2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 2 x - 2 x + 3}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

ステップ 6.10

$- 2 x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{- 4 x + 3}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

ステップ 7

くくりだして簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$\frac{- (4 x) + 3}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

ステップ 7.2

$3$ を $- 1 (- 3)$ に書き換えます。

$\frac{- (4 x) - 1 (- 3)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

ステップ 7.3

$- 1$ を $- (4 x) - 1 (- 3)$ で因数分解します。

$\frac{- (4 x - 3)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

ステップ 7.4

式を簡約します。

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ステップ 7.4.1

$- (4 x - 3)$ を $- 1 (4 x - 3)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (4 x - 3)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

ステップ 7.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{4 x - 3}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

代数 例

代数例