代数例

$2 (\cos (\frac{5 π}{3}) + i \sin (\frac{5 π}{3})) \cdot 4 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

ステップ 1

項を簡約します。

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ステップ 1.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{5 π}{3})) \cdot 4 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

ステップ 1.1.2

$\cos (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$2 (\frac{1}{2} + i \sin (\frac{5 π}{3})) \cdot 4 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

ステップ 1.1.3

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$2 (\frac{1}{2} + i (- \sin (\frac{π}{3}))) \cdot 4 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

ステップ 1.1.4

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$2 (\frac{1}{2} + i (- \frac{\sqrt{3}}{2})) \cdot 4 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

ステップ 1.1.5

$i$ と $\frac{\sqrt{3}}{2}$ をまとめます。

$2 (\frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}) \cdot 4 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

ステップ 1.2

項を簡約します。

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ステップ 1.2.1

分配則を当てはめます。

$(2 (\frac{1}{2}) + 2 (- \frac{i \sqrt{3}}{2})) \cdot 4 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

ステップ 1.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.1

共通因数を約分します。

$(2 (\frac{1}{2}) + 2 (- \frac{i \sqrt{3}}{2})) \cdot 4 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

ステップ 1.2.2.2

式を書き換えます。

$(1 + 2 (- \frac{i \sqrt{3}}{2})) \cdot 4 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

ステップ 1.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.1

$- \frac{i \sqrt{3}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$(1 + 2 \frac{- i \sqrt{3}}{2}) \cdot 4 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

ステップ 1.2.3.2

共通因数を約分します。

$(1 + 2 \frac{- i \sqrt{3}}{2}) \cdot 4 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

ステップ 1.2.3.3

式を書き換えます。

$(1 - i \sqrt{3}) \cdot 4 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

ステップ 1.2.4

分配則を当てはめます。

$(1 \cdot 4 - i \sqrt{3} \cdot 4) (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

ステップ 1.2.5

掛け算します。

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ステップ 1.2.5.1

$4$ に $1$ をかけます。

$(4 - i \sqrt{3} \cdot 4) (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

ステップ 1.2.5.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$(4 - 4 i \sqrt{3}) (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

ステップ 1.3

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$(4 - 4 i \sqrt{3}) (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{π}{6}))$

ステップ 1.3.2

$\sin (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$(4 - 4 i \sqrt{3}) (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2})$

ステップ 1.3.3

$i$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$(4 - 4 i \sqrt{3}) (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})$

ステップ 2

分配法則（FOIL法）を使って $(4 - 4 i \sqrt{3}) (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})$ を展開します。

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ステップ 2.1

分配則を当てはめます。

$4 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}) - 4 i \sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})$

ステップ 2.2

分配則を当てはめます。

$4 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 \frac{i}{2} - 4 i \sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})$

ステップ 2.3

分配則を当てはめます。

$4 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 \frac{i}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

ステップ 3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$2 (2) \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 \frac{i}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

ステップ 3.1.1.2

共通因数を約分します。

$2 \cdot 2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 \frac{i}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

ステップ 3.1.1.3

式を書き換えます。

$2 \sqrt{3} + 4 \frac{i}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

ステップ 3.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$2 \sqrt{3} + 2 (2) \frac{i}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

ステップ 3.1.2.2

共通因数を約分します。

$2 \sqrt{3} + 2 \cdot 2 \frac{i}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

ステップ 3.1.2.3

式を書き換えます。

$2 \sqrt{3} + 2 i - 4 i \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

ステップ 3.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.3.1

$2$ を $- 4 i \sqrt{3}$ で因数分解します。

$2 \sqrt{3} + 2 i + 2 (- 2 i \sqrt{3}) \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

ステップ 3.1.3.2

共通因数を約分します。

$2 \sqrt{3} + 2 i + 2 (- 2 i \sqrt{3}) \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

ステップ 3.1.3.3

式を書き換えます。

$2 \sqrt{3} + 2 i - 2 i \sqrt{3} \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

ステップ 3.1.4

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$2 \sqrt{3} + 2 i - 2 i ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

ステップ 3.1.5

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$2 \sqrt{3} + 2 i - 2 i ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

ステップ 3.1.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 \sqrt{3} + 2 i - 2 i {\sqrt{3}}^{1 + 1} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

ステップ 3.1.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 \sqrt{3} + 2 i - 2 i {\sqrt{3}}^{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

ステップ 3.1.8

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 3.1.8.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$2 \sqrt{3} + 2 i - 2 i {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

ステップ 3.1.8.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 \sqrt{3} + 2 i - 2 i \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

ステップ 3.1.8.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$2 \sqrt{3} + 2 i - 2 i \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

ステップ 3.1.8.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.8.4.1

共通因数を約分します。

$2 \sqrt{3} + 2 i - 2 i \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

ステップ 3.1.8.4.2

式を書き換えます。

$2 \sqrt{3} + 2 i - 2 i \cdot 3^{1} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

ステップ 3.1.8.5

指数を求めます。

$2 \sqrt{3} + 2 i - 2 i \cdot 3 - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

ステップ 3.1.9

$3$ に $- 2$ をかけます。

$2 \sqrt{3} + 2 i - 6 i - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

ステップ 3.1.10

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.10.1

$2$ を $- 4 i \sqrt{3}$ で因数分解します。

$2 \sqrt{3} + 2 i - 6 i + 2 (- 2 i \sqrt{3}) \frac{i}{2}$

ステップ 3.1.10.2

共通因数を約分します。

$2 \sqrt{3} + 2 i - 6 i + 2 (- 2 i \sqrt{3}) \frac{i}{2}$

ステップ 3.1.10.3

式を書き換えます。

$2 \sqrt{3} + 2 i - 6 i - 2 i \sqrt{3} i$

ステップ 3.1.11

$i$ を $1$ 乗します。

$2 \sqrt{3} + 2 i - 6 i - 2 (i^{1} i) \sqrt{3}$

ステップ 3.1.12

$i$ を $1$ 乗します。

$2 \sqrt{3} + 2 i - 6 i - 2 (i^{1} i^{1}) \sqrt{3}$

ステップ 3.1.13

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 \sqrt{3} + 2 i - 6 i - 2 i^{1 + 1} \sqrt{3}$

ステップ 3.1.14

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 \sqrt{3} + 2 i - 6 i - 2 i^{2} \sqrt{3}$

ステップ 3.1.15

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$2 \sqrt{3} + 2 i - 6 i - 2 \cdot - 1 \sqrt{3}$

ステップ 3.1.16

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$2 \sqrt{3} + 2 i - 6 i + 2 \sqrt{3}$

ステップ 3.2

$2 \sqrt{3}$ と $2 \sqrt{3}$ をたし算します。

$2 i - 6 i + 4 \sqrt{3}$

ステップ 3.3

$2 i$ から $6 i$ を引きます。

$- 4 i + 4 \sqrt{3}$

ステップ 4

$- 4 i$ と $4 \sqrt{3}$ を並べ替えます。

$4 \sqrt{3} - 4 i$

代数 例

代数例