代数例

$f (x) = \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$

ステップ 1

$f (x) = \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ を方程式で書きます。

$y = \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{1 - e^{- y}}{1 + e^{- y}}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $\frac{1 - e^{- y}}{1 + e^{- y}} = x$ として書き換えます。

$\frac{1 - e^{- y}}{1 + e^{- y}} = x$

ステップ 3.2

両辺に $1 + e^{- y}$ を掛けます。

$\frac{1 - e^{- y}}{1 + e^{- y}} (1 + e^{- y}) = x (1 + e^{- y})$

ステップ 3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

$1 + e^{- y}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 - e^{- y}}{1 + e^{- y}} (1 + e^{- y}) = x (1 + e^{- y})$

ステップ 3.3.1.1.2

式を書き換えます。

$1 - e^{- y} = x (1 + e^{- y})$

ステップ 3.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$x (1 + e^{- y})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

分配則を当てはめます。

$1 - e^{- y} = x \cdot 1 + x e^{- y}$

ステップ 3.3.2.1.2

$x$ に $1$ をかけます。

$1 - e^{- y} = x + x e^{- y}$

ステップ 3.4

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

方程式の両辺から $x e^{- y}$ を引きます。

$1 - e^{- y} - x e^{- y} = x$

ステップ 3.4.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- e^{- y} - x e^{- y} = x - 1$

ステップ 3.4.3

$e^{- y}$ を $- e^{- y} - x e^{- y}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

$e^{- y}$ を $- e^{- y}$ で因数分解します。

$e^{- y} \cdot - 1 - x e^{- y} = x - 1$

ステップ 3.4.3.2

$e^{- y}$ を $- x e^{- y}$ で因数分解します。

$e^{- y} \cdot - 1 + e^{- y} (- x) = x - 1$

ステップ 3.4.3.3

$e^{- y}$ を $e^{- y} \cdot - 1 + e^{- y} (- x)$ で因数分解します。

$e^{- y} (- 1 - x) = x - 1$

ステップ 3.4.4

$e^{- y} (- 1 - x) = x - 1$ の各項を $- 1 - x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.1

$e^{- y} (- 1 - x) = x - 1$ の各項を $- 1 - x$ で割ります。

$\frac{e^{- y} (- 1 - x)}{- 1 - x} = \frac{x}{- 1 - x} + \frac{- 1}{- 1 - x}$

ステップ 3.4.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.2.1

$- 1 - x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{- y} (- 1 - x)}{- 1 - x} = \frac{x}{- 1 - x} + \frac{- 1}{- 1 - x}$

ステップ 3.4.4.2.1.2

$e^{- y}$ を $1$ で割ります。

$e^{- y} = \frac{x}{- 1 - x} + \frac{- 1}{- 1 - x}$

ステップ 3.4.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.3.1

公分母の分子をまとめます。

$e^{- y} = \frac{x - 1}{- 1 - x}$

ステップ 3.4.4.3.2

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$e^{- y} = \frac{x - 1}{- 1 (1) - x}$

ステップ 3.4.4.3.3

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$e^{- y} = \frac{x - 1}{- 1 (1) - (x)}$

ステップ 3.4.4.3.4

$- 1$ を $- 1 (1) - (x)$ で因数分解します。

$e^{- y} = \frac{x - 1}{- 1 (1 + x)}$

ステップ 3.4.4.3.5

分数の前に負数を移動させます。

$e^{- y} = - \frac{x - 1}{1 + x}$

ステップ 3.4.5

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{- y}) = \ln (- \frac{x - 1}{1 + x})$

ステップ 3.4.6

左辺を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.1

$- y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{- y})$ を展開します。

$- y \ln (e) = \ln (- \frac{x - 1}{1 + x})$

ステップ 3.4.6.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$- y \cdot 1 = \ln (- \frac{x - 1}{1 + x})$

ステップ 3.4.6.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- y = \ln (- \frac{x - 1}{1 + x})$

ステップ 3.4.7

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.7.1

$\ln (- \frac{x - 1}{1 + x})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.7.1.1

分数 $\frac{x - 1}{1 + x}$ を2つの分数に分割します。

$- y = \ln (- (\frac{x}{1 + x} + \frac{- 1}{1 + x}))$

ステップ 3.4.7.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$- y = \ln (- (\frac{x}{1 + x} - \frac{1}{1 + x}))$

ステップ 3.4.7.1.3

分配則を当てはめます。

$- y = \ln (- \frac{x}{1 + x} - - \frac{1}{1 + x})$

ステップ 3.4.7.1.4

$- - \frac{1}{1 + x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.7.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- y = \ln (- \frac{x}{1 + x} + 1 \frac{1}{1 + x})$

ステップ 3.4.7.1.4.2

$\frac{1}{1 + x}$ に $1$ をかけます。

$- y = \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$

ステップ 3.4.8

$- y = \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.8.1

$- y = \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}{- 1}$

ステップ 3.4.8.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.8.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}{- 1}$

ステップ 3.4.8.2.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}{- 1}$

ステップ 3.4.8.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.8.3.1

$\frac{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$y = - 1 \cdot \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$

ステップ 3.4.8.3.2

$- 1 \cdot \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$ を $- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$ に書き換えます。

$y = - \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = - \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$ が $f (x) = \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (- \frac{\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}} + \frac{1}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

ステップ 5.2.3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

括弧を削除します。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (- \frac{\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}} + \frac{1}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

ステップ 5.2.3.2

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{- \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}} + 1}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

ステップ 5.2.3.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{- \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}} + \frac{1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

ステップ 5.2.3.4

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{- (1 - e^{- x}) + 1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

ステップ 5.2.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{- 1 \cdot 1 + e^{- x} + 1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

ステップ 5.2.4.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{- 1 + e^{- x} + 1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

ステップ 5.2.4.3

$- - e^{- x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{- 1 + 1 e^{- x} + 1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

ステップ 5.2.4.3.2

$e^{- x}$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{- 1 + e^{- x} + 1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

ステップ 5.2.4.4

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{0 + e^{- x} + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

ステップ 5.2.4.5

$0$ と $e^{- x}$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{e^{- x} + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

ステップ 5.2.4.6

$e^{- x}$ と $e^{- x}$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

ステップ 5.2.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

ステップ 5.2.6

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1}{\frac{1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}} + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

ステップ 5.2.6.2

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1}{\frac{1 + e^{- x} + 1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

ステップ 5.2.6.3

因数分解した形で $\frac{1 + e^{- x} + 1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.3.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1}{\frac{2 + e^{- x} - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

ステップ 5.2.6.3.2

$e^{- x}$ から $e^{- x}$ を引きます。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1}{\frac{2 + 0}{1 + e^{- x}}})$

ステップ 5.2.6.3.3

$2$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1}{\frac{2}{1 + e^{- x}}})$

ステップ 5.2.7

分子に分母の逆数を掛けます。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot (1 (\frac{1 + e^{- x}}{2})))$

ステップ 5.2.8

$\frac{1 + e^{- x}}{2}$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1 + e^{- x}}{2})$

ステップ 5.2.9

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.9.1

$2$ を $2 e^{- x}$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 (e^{- x})}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1 + e^{- x}}{2})$

ステップ 5.2.9.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1 + e^{- x}}{2})$

ステップ 5.2.9.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot (1 + e^{- x}))$

ステップ 5.2.10

$1 + e^{- x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.10.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot (1 + e^{- x}))$

ステップ 5.2.10.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (e^{- x})$

ステップ 5.2.11

対数の法則を利用して指数の外に $- x$ を移動します。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - (- x \ln (e))$

ステップ 5.2.12

$e$ の自然対数は $1$ です。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - (- x \cdot 1)$

ステップ 5.2.13

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x}))$ の値を求めます。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{1 - e^{- (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x}))}}{1 + e^{- (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x}))}}$

ステップ 5.3.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

公分母の分子をまとめます。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{1 - e^{\ln (\frac{- x + 1}{1 + x})}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

ステップ 5.3.3.2

$- - \ln (\frac{- x + 1}{1 + x})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{1 - e^{1 \ln (\frac{- x + 1}{1 + x})}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

ステップ 5.3.3.2.2

$\ln (\frac{- x + 1}{1 + x})$ に $1$ をかけます。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{1 - e^{\ln (\frac{- x + 1}{1 + x})}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

ステップ 5.3.3.3

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{1 - \frac{- x + 1}{1 + x}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

ステップ 5.3.3.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{1 + x}{1 + x} - \frac{- x + 1}{1 + x}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

ステップ 5.3.3.5

公分母の分子をまとめます。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{1 + x - (- x + 1)}{1 + x}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

ステップ 5.3.3.6

項を並べ替えます。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + 1 - (- x + 1)}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

ステップ 5.3.3.7

因数分解した形で $\frac{x + 1 - (- x + 1)}{x + 1}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.7.1

分配則を当てはめます。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + 1 + x - 1 \cdot 1}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

ステップ 5.3.3.7.2

$- - x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.7.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + 1 + 1 x - 1 \cdot 1}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

ステップ 5.3.3.7.2.2

$x$ に $1$ をかけます。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + 1 + x - 1 \cdot 1}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

ステップ 5.3.3.7.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + 1 + x - 1}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

ステップ 5.3.3.7.4

$x$ と $x$ をたし算します。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x + 1 - 1}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

ステップ 5.3.3.7.5

$1$ から $1$ を引きます。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x + 0}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

ステップ 5.3.3.7.6

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

ステップ 5.3.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

公分母の分子をまとめます。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 + e^{\ln (\frac{- x + 1}{1 + x})}}$

ステップ 5.3.4.2

$- - \ln (\frac{- x + 1}{1 + x})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 + e^{1 \ln (\frac{- x + 1}{1 + x})}}$

ステップ 5.3.4.2.2

$\ln (\frac{- x + 1}{1 + x})$ に $1$ をかけます。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 + e^{\ln (\frac{- x + 1}{1 + x})}}$

ステップ 5.3.4.3

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 + \frac{- x + 1}{1 + x}}$

ステップ 5.3.4.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + x}{1 + x} + \frac{- x + 1}{1 + x}}$

ステップ 5.3.4.5

公分母の分子をまとめます。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + x - x + 1}{1 + x}}$

ステップ 5.3.4.6

項を並べ替えます。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{x - x + 1 + 1}{x + 1}}$

ステップ 5.3.4.7

因数分解した形で $\frac{x - x + 1 + 1}{x + 1}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.7.1

$x$ から $x$ を引きます。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{0 + 1 + 1}{x + 1}}$

ステップ 5.3.4.7.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + 1}{x + 1}}$

ステップ 5.3.4.7.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{2}{x + 1}}$

ステップ 5.3.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{2 x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

ステップ 5.3.6

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{2 (x)}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

ステップ 5.3.6.2

共通因数を約分します。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{2 x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

ステップ 5.3.6.3

式を書き換えます。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1)$

ステップ 5.3.7

$x + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.7.1

共通因数を約分します。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1)$

ステップ 5.3.7.2

式を書き換えます。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = - \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$ は $f (x) = \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = - \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$

代数 例

代数例