代数例

$\log_{4} (x^{2} - x) = 1 + \log_{4} (5)$

ステップ 1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\log_{4} (x^{2} - x) - \log_{4} (5) = 1$

ステップ 2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\log_{4} (\frac{x^{2} - x}{5}) = 1$

ステップ 3

$x$ を $x^{2} - x$ で因数分解します。

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ステップ 3.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\log_{4} (\frac{x \cdot x - x}{5}) = 1$

ステップ 3.2

$x$ を $- x$ で因数分解します。

$\log_{4} (\frac{x \cdot x + x \cdot - 1}{5}) = 1$

ステップ 3.3

$x$ を $x \cdot x + x \cdot - 1$ で因数分解します。

$\log_{4} (\frac{x (x - 1)}{5}) = 1$

ステップ 4

対数の定義を利用して $\log_{4} (\frac{x (x - 1)}{5}) = 1$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$4^{1} = \frac{x (x - 1)}{5}$

ステップ 5

$x$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $\frac{x (x - 1)}{5} = 4^{1}$ として書き換えます。

$\frac{x (x - 1)}{5} = 4$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $5$ を掛けます。

$5 \frac{x (x - 1)}{5} = 5 \cdot 4^{1}$

ステップ 5.3

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1.1

$5 \frac{x (x - 1)}{5}$ を簡約します。

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ステップ 5.3.1.1.1

項を簡約します。

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ステップ 5.3.1.1.1.1

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$5 \frac{x (x - 1)}{5} = 5 \cdot 4^{1}$

ステップ 5.3.1.1.1.1.2

式を書き換えます。

$x (x - 1) = 5 \cdot 4^{1}$

ステップ 5.3.1.1.1.2

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 5 \cdot 4^{1}$

ステップ 5.3.1.1.1.3

式を簡約します。

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ステップ 5.3.1.1.1.3.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + x \cdot - 1 = 5 \cdot 4^{1}$

ステップ 5.3.1.1.1.3.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{2} - 1 \cdot x = 5 \cdot 4^{1}$

ステップ 5.3.1.1.2

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$x^{2} - x = 5 \cdot 4^{1}$

ステップ 5.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$5 \cdot 4^{1}$ を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1.1

指数を求めます。

$x^{2} - x = 5 \cdot 4$

ステップ 5.3.2.1.2

$5$ に $4$ をかけます。

$x^{2} - x = 20$

ステップ 5.4

方程式の両辺から $20$ を引きます。

$x^{2} - x - 20 = 0$

ステップ 5.5

たすき掛けを利用して $x^{2} - x - 20$ を因数分解します。

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ステップ 5.5.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 20$ で、その和が $- 1$ です。

$- 5, 4$

ステップ 5.5.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 5) (x + 4) = 0$

ステップ 5.6

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

ステップ 5.7

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.7.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 5.7.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 5.8

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.8.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 5.8.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 5.9

最終解は $(x - 5) (x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 5, - 4$

代数 例

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