代数例

$\frac{3 x}{4 x^{2} + 4} - \frac{2 x^{2}}{x^{4} - 1}$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

$4$ を $4 x^{2} + 4$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$4$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 x}{4 (x^{2}) + 4} - \frac{2 x^{2}}{x^{4} - 1}$

ステップ 1.1.2

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{3 x}{4 (x^{2}) + 4 (1)} - \frac{2 x^{2}}{x^{4} - 1}$

ステップ 1.1.3

$4$ を $4 (x^{2}) + 4 (1)$ で因数分解します。

$\frac{3 x}{4 (x^{2} + 1)} - \frac{2 x^{2}}{x^{4} - 1}$

ステップ 1.2

分母を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3 x}{4 (x^{2} + 1)} - \frac{2 x^{2}}{{(x^{2})}^{2} - 1}$

ステップ 1.2.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3 x}{4 (x^{2} + 1)} - \frac{2 x^{2}}{{(x^{2})}^{2} - 1^{2}}$

ステップ 1.2.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x^{2}$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{3 x}{4 (x^{2} + 1)} - \frac{2 x^{2}}{(x^{2} + 1) (x^{2} - 1)}$

ステップ 1.2.4

簡約します。

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ステップ 1.2.4.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3 x}{4 (x^{2} + 1)} - \frac{2 x^{2}}{(x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2})}$

ステップ 1.2.4.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{3 x}{4 (x^{2} + 1)} - \frac{2 x^{2}}{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}$

ステップ 2

$\frac{3 x}{4 (x^{2} + 1)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ を掛けます。

$\frac{3 x}{4 (x^{2} + 1)} \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{2 x^{2}}{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}$

ステップ 3

$- \frac{2 x^{2}}{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{3 x}{4 (x^{2} + 1)} \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{2 x^{2}}{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1

$\frac{3 x}{4 (x^{2} + 1)}$ に $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ をかけます。

$\frac{3 x ((x + 1) (x - 1))}{4 (x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1))} - \frac{2 x^{2}}{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 4.2

$\frac{2 x^{2}}{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{3 x ((x + 1) (x - 1))}{4 (x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1))} - \frac{2 x^{2} \cdot 4}{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) \cdot 4}$

ステップ 4.3

$4 (x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1))$ の因数を並べ替えます。

$\frac{3 x ((x + 1) (x - 1))}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)} - \frac{2 x^{2} \cdot 4}{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) \cdot 4}$

ステップ 4.4

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) \cdot 4$ の因数を並べ替えます。

$\frac{3 x ((x + 1) (x - 1))}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)} - \frac{2 x^{2} \cdot 4}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3 x ((x + 1) (x - 1)) - 2 x^{2} \cdot 4}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$x$ を $3 x ((x + 1) (x - 1)) - 2 x^{2} \cdot 4$ で因数分解します。

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ステップ 6.1.1

$x$ を $3 x ((x + 1) (x - 1))$ で因数分解します。

$\frac{x (3 ((x + 1) (x - 1))) - 2 x^{2} \cdot 4}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

ステップ 6.1.2

$x$ を $- 2 x^{2} \cdot 4$ で因数分解します。

$\frac{x (3 ((x + 1) (x - 1))) + x (- 2 x \cdot 4)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

ステップ 6.1.3

$x$ を $x (3 ((x + 1) (x - 1))) + x (- 2 x \cdot 4)$ で因数分解します。

$\frac{x (3 ((x + 1) (x - 1)) - 2 x \cdot 4)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

ステップ 6.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 1) (x - 1)$ を展開します。

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ステップ 6.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x (3 (x (x - 1) + 1 (x - 1)) - 2 x \cdot 4)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

ステップ 6.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x (3 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) - 2 x \cdot 4)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

ステップ 6.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x (3 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) - 2 x \cdot 4)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

ステップ 6.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 6.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x (3 (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) - 2 x \cdot 4)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

ステップ 6.3.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{x (3 (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) - 2 x \cdot 4)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

ステップ 6.3.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{x (3 (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) - 2 x \cdot 4)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

ステップ 6.3.1.4

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{x (3 (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) - 2 x \cdot 4)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

ステップ 6.3.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x (3 (x^{2} - x + x - 1) - 2 x \cdot 4)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

ステップ 6.3.2

$- x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{x (3 (x^{2} + 0 - 1) - 2 x \cdot 4)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

ステップ 6.3.3

$x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x (3 (x^{2} - 1) - 2 x \cdot 4)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

ステップ 6.4

分配則を当てはめます。

$\frac{x (3 x^{2} + 3 \cdot - 1 - 2 x \cdot 4)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

ステップ 6.5

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x (3 x^{2} - 3 - 2 x \cdot 4)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

ステップ 6.6

$4$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{x (3 x^{2} - 3 - 8 x)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

ステップ 6.7

項を並べ替えます。

$\frac{x (3 x^{2} - 8 x - 3)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

ステップ 6.8

群による因数分解。

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ステップ 6.8.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot - 3 = - 9$ で和が $b = - 8$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 6.8.1.1

$- 8$ を $- 8 x$ で因数分解します。

$\frac{x (3 x^{2} - 8 (x) - 3)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

ステップ 6.8.1.2

$- 8$ を $1$ プラス $- 9$ に書き換える

$\frac{x (3 x^{2} + (1 - 9) x - 3)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

ステップ 6.8.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x (3 x^{2} + 1 x - 9 x - 3)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

ステップ 6.8.1.4

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{x (3 x^{2} + x - 9 x - 3)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

ステップ 6.8.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 6.8.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{x ((3 x^{2} + x) - 9 x - 3)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

ステップ 6.8.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{x (x (3 x + 1) - 3 (3 x + 1))}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

ステップ 6.8.3

最大公約数 $3 x + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{x ((3 x + 1) (x - 3))}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

$\frac{x (3 x + 1) (x - 3)}{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$

代数 例

代数例