代数例

$f (x) = \frac{1}{2} {(x - 1)}^{3}$

ステップ 1

$f (x) = \frac{1}{2} {(x - 1)}^{3}$ を方程式で書きます。

$y = \frac{1}{2} {(x - 1)}^{3}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{3}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $\frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{3} = x$ として書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{3} = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{3}) = 2 x$

ステップ 3.3

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$2 (\frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{3})$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

$\frac{1}{2}$ と ${(y - 1)}^{3}$ をまとめます。

$2 \frac{{(y - 1)}^{3}}{2} = 2 x$

ステップ 3.3.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{{(y - 1)}^{3}}{2} = 2 x$

ステップ 3.3.1.2.2

式を書き換えます。

${(y - 1)}^{3} = 2 x$

ステップ 3.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y - 1 = \sqrt[3]{2 x}$

ステップ 3.5

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y = \sqrt[3]{2 x} + 1$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x} + 1$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x} + 1$ が $f (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}) = \sqrt[3]{2 (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3})} + 1$

ステップ 5.2.3

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}) = \sqrt[3]{\frac{2}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}} + 1$

ステップ 5.2.3.2

$\frac{2}{2}$ と ${(x - 1)}^{3}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}) = \sqrt[3]{\frac{2 {(x - 1)}^{3}}{2}} + 1$

ステップ 5.2.3.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 5.2.3.3.1

今日数因数で約分することで式 $\frac{2 {(x - 1)}^{3}}{2}$ を約分します。

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ステップ 5.2.3.3.1.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}) = \sqrt[3]{\frac{2 {(x - 1)}^{3}}{2}} + 1$

ステップ 5.2.3.3.1.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}) = \sqrt[3]{\frac{{(x - 1)}^{3}}{1}} + 1$

ステップ 5.2.3.3.2

${(x - 1)}^{3}$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}) = \sqrt[3]{{(x - 1)}^{3}} + 1$

ステップ 5.2.3.4

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}) = x - 1 + 1$

ステップ 5.2.4

$x - 1 + 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.4.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}) = x + 0$

ステップ 5.2.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\sqrt[3]{2 x} + 1)$ の値を求めます。

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot {((\sqrt[3]{2 x} + 1) - 1)}^{3}$

ステップ 5.3.3

$(\sqrt[3]{2 x} + 1) - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.3.3.1

$1$ から $1$ を引きます。

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot {(\sqrt[3]{2 x} + 0)}^{3}$

ステップ 5.3.3.2

$\sqrt[3]{2 x}$ と $0$ をたし算します。

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot {\sqrt[3]{2 x}}^{3}$

ステップ 5.3.4

${\sqrt[3]{2 x}}^{3}$ を $2 x$ に書き換えます。

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ステップ 5.3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{2 x}$ を ${(2 x)}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot {({(2 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$

ステップ 5.3.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot {(2 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

ステップ 5.3.4.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot {(2 x)}^{\frac{3}{3}}$

ステップ 5.3.4.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.4.4.1

共通因数を約分します。

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot {(2 x)}^{\frac{3}{3}}$

ステップ 5.3.4.4.2

式を書き換えます。

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

ステップ 5.3.4.5

簡約します。

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

ステップ 5.3.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.5.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x))$

ステップ 5.3.5.2

共通因数を約分します。

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

ステップ 5.3.5.3

式を書き換えます。

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x} + 1$ は $f (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x} + 1$

代数 例

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