代数例

$\tan^{2} (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cot^{2} (x)}$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cot^{2} (x)}$

ステップ 1.2

積の法則を $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cot^{2} (x)}$

ステップ 1.3

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cot^{2} (x)}$ を ${(\frac{\sin (x)}{\cot (x)})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - {(\frac{\sin (x)}{\cot (x)})}^{2}$

ステップ 1.4

正弦と余弦に関して $\cot (x)$ を書き換えます。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - {(\frac{\sin (x)}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}})}^{2}$

ステップ 1.5

分数の逆数を掛け、 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ で割ります。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - {(\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

ステップ 1.6

$\sin (x)$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - {(\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

ステップ 1.7

簡約します。

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ステップ 1.7.1

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - {(\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

ステップ 1.7.2

$\sin (x)$ と $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ をまとめます。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - {(\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

ステップ 1.8

分子を簡約します。

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ステップ 1.8.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - {(\frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

ステップ 1.8.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - {(\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)})}^{2}$

ステップ 1.8.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - {(\frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)})}^{2}$

ステップ 1.8.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - {(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})}^{2}$

ステップ 1.9

積の法則を $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{{(\sin^{2} (x))}^{2}}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 1.10

${(\sin^{2} (x))}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.10.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{{\sin (x)}^{2 \cdot 2}}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 1.10.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 2

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ を ${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$ に書き換えます。

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - \frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3

$\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)}$ を ${(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})}^{2}$ に書き換えます。

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - {(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})}^{2}$

ステップ 4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ であり、 $b = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ です。

$(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

ステップ 5

項を簡約します。

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ステップ 5.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$(\tan (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

ステップ 5.1.2

$\sin (x)$ を $\sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$(\tan (x) + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

ステップ 5.1.3

分数を分解します。

$(\tan (x) + \frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

ステップ 5.1.4

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$(\tan (x) + \frac{\sin (x)}{1} \tan (x)) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

ステップ 5.1.5

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$(\tan (x) + \sin (x) \tan (x)) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

ステップ 5.2

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$(\tan (x) + \sin (x) \tan (x)) (\tan (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

ステップ 5.2.2

$\sin (x)$ を $\sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$(\tan (x) + \sin (x) \tan (x)) (\tan (x) - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)})$

ステップ 5.2.3

分数を分解します。

$(\tan (x) + \sin (x) \tan (x)) (\tan (x) - (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))$

ステップ 5.2.4

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$(\tan (x) + \sin (x) \tan (x)) (\tan (x) - (\frac{\sin (x)}{1} \tan (x)))$

ステップ 5.2.5

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$(\tan (x) + \sin (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sin (x) \tan (x))$

ステップ 6

分配法則（FOIL法）を使って $(\tan (x) + \sin (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sin (x) \tan (x))$ を展開します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\tan (x) (\tan (x) - \sin (x) \tan (x)) + \sin (x) \tan (x) (\tan (x) - \sin (x) \tan (x))$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sin (x) \tan (x)) + \sin (x) \tan (x) (\tan (x) - \sin (x) \tan (x))$

ステップ 6.3

分配則を当てはめます。

$\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sin (x) \tan (x)) + \sin (x) \tan (x) \tan (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

ステップ 7

項を簡約します。

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ステップ 7.1

$\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sin (x) \tan (x)) + \sin (x) \tan (x) \tan (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 7.1.1

$\tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$ と $\sin (x) \tan (x) \tan (x)$ について因数を並べ替えます。

$\tan (x) \tan (x) - \sin (x) \tan (x) \tan (x) + \sin (x) \tan (x) \tan (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

ステップ 7.1.2

$- \sin (x) \tan (x) \tan (x)$ と $\sin (x) \tan (x) \tan (x)$ をたし算します。

$\tan (x) \tan (x) + 0 + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

ステップ 7.1.3

$\tan (x) \tan (x)$ と $0$ をたし算します。

$\tan (x) \tan (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

ステップ 7.2

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$\tan (x) \tan (x)$ を掛けます。

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ステップ 7.2.1.1

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$\tan^{1} (x) \tan (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

ステップ 7.2.1.2

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$\tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

ステップ 7.2.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${\tan (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

ステップ 7.2.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\tan^{2} (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

ステップ 7.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\tan^{2} (x) - \sin (x) \tan (x) \sin (x) \tan (x)$

ステップ 7.2.3

$- \sin (x) \tan (x) \sin (x)$ を掛けます。

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ステップ 7.2.3.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\tan^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) \tan (x) \tan (x)$

ステップ 7.2.3.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\tan^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \tan (x) \tan (x)$

ステップ 7.2.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\tan^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} \tan (x) \tan (x)$

ステップ 7.2.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\tan^{2} (x) - \sin^{2} (x) \tan (x) \tan (x)$

ステップ 7.2.4

$- \sin^{2} (x) \tan (x) \tan (x)$ を掛けます。

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ステップ 7.2.4.1

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$\tan^{2} (x) - \sin^{2} (x) (\tan^{1} (x) \tan (x))$

ステップ 7.2.4.2

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$\tan^{2} (x) - \sin^{2} (x) (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x))$

ステップ 7.2.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\tan^{2} (x) - \sin^{2} (x) {\tan (x)}^{1 + 1}$

ステップ 7.2.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\tan^{2} (x) - \sin^{2} (x) \tan^{2} (x)$

ステップ 7.3

$\tan^{2} (x)$ を $\tan^{2} (x) - \sin^{2} (x) \tan^{2} (x)$ で因数分解します。

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ステップ 7.3.1

$1$ を掛けます。

$\tan^{2} (x) \cdot 1 - \sin^{2} (x) \tan^{2} (x)$

ステップ 7.3.2

$\tan^{2} (x)$ を $- \sin^{2} (x) \tan^{2} (x)$ で因数分解します。

$\tan^{2} (x) \cdot 1 + \tan^{2} (x) (- \sin^{2} (x))$

ステップ 7.3.3

$\tan^{2} (x)$ を $\tan^{2} (x) \cdot 1 + \tan^{2} (x) (- \sin^{2} (x))$ で因数分解します。

$\tan^{2} (x) (1 - \sin^{2} (x))$

ステップ 8

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\tan^{2} (x) \cos^{2} (x)$

ステップ 9

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} \cos^{2} (x)$

ステップ 10

積の法則を $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)$

ステップ 11

$\cos^{2} (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)$

ステップ 11.2

式を書き換えます。

$\sin^{2} (x)$

代数 例

代数例