代数例

$\frac{a^{2} - 1}{a^{3} + 1} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{a^{2} + 2 a + 1}$

ステップ 1

分子を簡約します。

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ステップ 1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{a^{2} - 1^{2}}{a^{3} + 1} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{a^{2} + 2 a + 1}$

ステップ 1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = a$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{(a + 1) (a - 1)}{a^{3} + 1} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{a^{2} + 2 a + 1}$

ステップ 2

分母を簡約します。

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ステップ 2.1

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$\frac{(a + 1) (a - 1)}{a^{3} + 1^{3}} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{a^{2} + 2 a + 1}$

ステップ 2.2

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = a$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a^{2} - a \cdot 1 + 1^{2})} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{a^{2} + 2 a + 1}$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a^{2} - a + 1^{2})} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{a^{2} + 2 a + 1}$

ステップ 2.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{a^{2} + 2 a + 1}$

ステップ 3

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 3.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{a^{2} + 2 a + 1^{2}}$

ステップ 3.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 a = 2 \cdot a \cdot 1$

ステップ 3.3

多項式を書き換えます。

$\frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{a^{2} + 2 \cdot a \cdot 1 + 1^{2}}$

ステップ 3.4

$a = a$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{{(a + 1)}^{2}}$

ステップ 4

項を簡約します。

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ステップ 4.1

$a + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.1

$a + 1$ を ${(a + 1)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{(a + 1) (a + 1)}$

ステップ 4.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{(a + 1) (a + 1)}$

ステップ 4.1.3

式を書き換えます。

$\frac{a - 1}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{a + 1}$

ステップ 4.2

$a^{2} - a + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1

$a^{2} - a + 1$ を $(a + 1) (a^{2} - a + 1)$ で因数分解します。

$\frac{a - 1}{(a^{2} - a + 1) (a + 1)} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{a + 1}$

ステップ 4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{a - 1}{(a^{2} - a + 1) (a + 1)} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{a + 1}$

ステップ 4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{a - 1}{a + 1} \cdot \frac{1}{a + 1}$

ステップ 4.3

$\frac{a - 1}{a + 1}$ に $\frac{1}{a + 1}$ をかけます。

$\frac{a - 1}{(a + 1) (a + 1)}$

ステップ 5

$a + 1$ を $1$ 乗します。

$\frac{a - 1}{{(a + 1)}^{1} (a + 1)}$

ステップ 6

$a + 1$ を $1$ 乗します。

$\frac{a - 1}{{(a + 1)}^{1} {(a + 1)}^{1}}$

ステップ 7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{a - 1}{{(a + 1)}^{1 + 1}}$

ステップ 8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{a - 1}{{(a + 1)}^{2}}$

代数 例

代数例