代数例

$S (r) = r^{5} + 5 r^{4} - 7 r^{3} - 43 r^{2} - 8 r - 48$

ステップ 1

$r^{5} + 5 r^{4} - 7 r^{3} - 43 r^{2} - 8 r - 48$ が $0$ に等しいとします。

$r^{5} + 5 r^{4} - 7 r^{3} - 43 r^{2} - 8 r - 48 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

項を再分類します。

$r^{5} - 7 r^{3} - 8 r + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

ステップ 2.1.2

$r$ を $r^{5} - 7 r^{3} - 8 r$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$r$ を $r^{5}$ で因数分解します。

$r \cdot r^{4} - 7 r^{3} - 8 r + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

ステップ 2.1.2.2

$r$ を $- 7 r^{3}$ で因数分解します。

$r \cdot r^{4} + r (- 7 r^{2}) - 8 r + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

ステップ 2.1.2.3

$r$ を $- 8 r$ で因数分解します。

$r \cdot r^{4} + r (- 7 r^{2}) + r \cdot - 8 + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

ステップ 2.1.2.4

$r$ を $r \cdot r^{4} + r (- 7 r^{2})$ で因数分解します。

$r (r^{4} - 7 r^{2}) + r \cdot - 8 + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

ステップ 2.1.2.5

$r$ を $r (r^{4} - 7 r^{2}) + r \cdot - 8$ で因数分解します。

$r (r^{4} - 7 r^{2} - 8) + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

ステップ 2.1.3

$r^{4}$ を ${(r^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$r ({(r^{2})}^{2} - 7 r^{2} - 8) + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

ステップ 2.1.4

$u = r^{2}$ とします。 $u$ を $r^{2}$ に代入します。

$r (u^{2} - 7 u - 8) + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

ステップ 2.1.5

たすき掛けを利用して $u^{2} - 7 u - 8$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 8$ で、その和が $- 7$ です。

$- 8, 1$

ステップ 2.1.5.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$r ((u - 8) (u + 1)) + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

ステップ 2.1.6

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.1

$u$ のすべての発生を $r^{2}$ で置き換えます。

$r ((r^{2} - 8) (r^{2} + 1)) + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

ステップ 2.1.6.2

不要な括弧を削除します。

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

ステップ 2.1.7

$r^{4}$ を ${(r^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 {(r^{2})}^{2} - 43 r^{2} - 48 = 0$

ステップ 2.1.8

$u = r^{2}$ とします。 $u$ を $r^{2}$ に代入します。

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 u^{2} - 43 u - 48 = 0$

ステップ 2.1.9

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.9.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 5 \cdot - 48 = - 240$ で和が $b = - 43$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.9.1.1

$- 43$ を $- 43 u$ で因数分解します。

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 u^{2} - 43 u - 48 = 0$

ステップ 2.1.9.1.2

$- 43$ を $5$ プラス $- 48$ に書き換える

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 u^{2} + (5 - 48) u - 48 = 0$

ステップ 2.1.9.1.3

分配則を当てはめます。

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 u^{2} + 5 u - 48 u - 48 = 0$

ステップ 2.1.9.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.9.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 u^{2} + 5 u - 48 u - 48 = 0$

ステップ 2.1.9.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 u (u + 1) - 48 (u + 1) = 0$

ステップ 2.1.9.3

最大公約数 $u + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + (u + 1) (5 u - 48) = 0$

ステップ 2.1.10

$u$ のすべての発生を $r^{2}$ で置き換えます。

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + (r^{2} + 1) (5 r^{2} - 48) = 0$

ステップ 2.1.11

$r^{2} + 1$ を $r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + (r^{2} + 1) (5 r^{2} - 48)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.11.1

$r^{2} + 1$ を $r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1)$ で因数分解します。

$(r^{2} + 1) (r (r^{2} - 8)) + (r^{2} + 1) (5 r^{2} - 48) = 0$

ステップ 2.1.11.2

$r^{2} + 1$ を $(r^{2} + 1) (r (r^{2} - 8)) + (r^{2} + 1) (5 r^{2} - 48)$ で因数分解します。

$(r^{2} + 1) (r (r^{2} - 8) + 5 r^{2} - 48) = 0$

ステップ 2.1.12

分配則を当てはめます。

$(r^{2} + 1) (r \cdot r^{2} + r \cdot - 8 + 5 r^{2} - 48) = 0$

ステップ 2.1.13

指数を足して $r$ に $r^{2}$ を掛けます。

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ステップ 2.1.13.1

$r$ に $r^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.13.1.1

$r$ を $1$ 乗します。

$(r^{2} + 1) (r \cdot r^{2} + r \cdot - 8 + 5 r^{2} - 48) = 0$

ステップ 2.1.13.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(r^{2} + 1) (r^{1 + 2} + r \cdot - 8 + 5 r^{2} - 48) = 0$

ステップ 2.1.13.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$(r^{2} + 1) (r^{3} + r \cdot - 8 + 5 r^{2} - 48) = 0$

ステップ 2.1.14

$- 8$ を $r$ の左に移動させます。

$(r^{2} + 1) (r^{3} - 8 r + 5 r^{2} - 48) = 0$

ステップ 2.1.15

項を並べ替えます。

$(r^{2} + 1) (r^{3} + 5 r^{2} - 8 r - 48) = 0$

ステップ 2.1.16

因数分解。

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ステップ 2.1.16.1

因数分解した形で $r^{3} + 5 r^{2} - 8 r - 48$ を書き換えます。

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ステップ 2.1.16.1.1

有理根検定を用いて $r^{3} + 5 r^{2} - 8 r - 48$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.16.1.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 48, \pm 2, \pm 24, \pm 3, \pm 16, \pm 4, \pm 12, \pm 6, \pm 8$

$q = \pm 1$

ステップ 2.1.16.1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 48, \pm 2, \pm 24, \pm 3, \pm 16, \pm 4, \pm 12, \pm 6, \pm 8$

ステップ 2.1.16.1.1.3

$3$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $3$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.16.1.1.3.1

$3$ を多項式に代入します。

$3^{3} + 5 \cdot 3^{2} - 8 \cdot 3 - 48$

ステップ 2.1.16.1.1.3.2

$3$ を $3$ 乗します。

$27 + 5 \cdot 3^{2} - 8 \cdot 3 - 48$

ステップ 2.1.16.1.1.3.3

$3$ を $2$ 乗します。

$27 + 5 \cdot 9 - 8 \cdot 3 - 48$

ステップ 2.1.16.1.1.3.4

$5$ に $9$ をかけます。

$27 + 45 - 8 \cdot 3 - 48$

ステップ 2.1.16.1.1.3.5

$27$ と $45$ をたし算します。

$72 - 8 \cdot 3 - 48$

ステップ 2.1.16.1.1.3.6

$- 8$ に $3$ をかけます。

$72 - 24 - 48$

ステップ 2.1.16.1.1.3.7

$72$ から $24$ を引きます。

$48 - 48$

ステップ 2.1.16.1.1.3.8

$48$ から $48$ を引きます。

$0$

ステップ 2.1.16.1.1.4

$3$ は既知の根なので、多項式を $r - 3$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{r^{3} + 5 r^{2} - 8 r - 48}{r - 3}$

ステップ 2.1.16.1.1.5

$r^{3} + 5 r^{2} - 8 r - 48$ を $r - 3$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.16.1.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$r$

$3$

$r^{3}$

$5 r^{2}$

$8 r$

$48$

ステップ 2.1.16.1.1.5.2

被除数 $r^{3}$ の最高次項を除数 $r$ の最高次項で割ります。

					$r^{2}$
	$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$

ステップ 2.1.16.1.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$r^{2}$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			+	$r^{3}$	-	$3 r^{2}$

ステップ 2.1.16.1.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $r^{3} - 3 r^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$r^{2}$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$

ステップ 2.1.16.1.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$r^{2}$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$

ステップ 2.1.16.1.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$r^{2}$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$

ステップ 2.1.16.1.1.5.7

被除数 $8 r^{2}$ の最高次項を除数 $r$ の最高次項で割ります。

				$r^{2}$	+	$8 r$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$

ステップ 2.1.16.1.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$r^{2}$	+	$8 r$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					+	$8 r^{2}$	-	$24 r$

ステップ 2.1.16.1.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $8 r^{2} - 24 r$ の符号をすべて変更します。

				$r^{2}$	+	$8 r$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$

ステップ 2.1.16.1.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$r^{2}$	+	$8 r$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$
							+	$16 r$

ステップ 2.1.16.1.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$r^{2}$	+	$8 r$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$
							+	$16 r$	-	$48$

ステップ 2.1.16.1.1.5.12

被除数 $16 r$ の最高次項を除数 $r$ の最高次項で割ります。

				$r^{2}$	+	$8 r$	+	$16$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$
							+	$16 r$	-	$48$

ステップ 2.1.16.1.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$r^{2}$	+	$8 r$	+	$16$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$
							+	$16 r$	-	$48$
							+	$16 r$	-	$48$

ステップ 2.1.16.1.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $16 r - 48$ の符号をすべて変更します。

				$r^{2}$	+	$8 r$	+	$16$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$
							+	$16 r$	-	$48$
							-	$16 r$	+	$48$

ステップ 2.1.16.1.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$r^{2}$	+	$8 r$	+	$16$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$
							+	$16 r$	-	$48$
							-	$16 r$	+	$48$
										$0$

ステップ 2.1.16.1.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$r^{2} + 8 r + 16$

ステップ 2.1.16.1.1.6

$r^{3} + 5 r^{2} - 8 r - 48$ を因数の集合として書き換えます。

$(r^{2} + 1) ((r - 3) (r^{2} + 8 r + 16)) = 0$

ステップ 2.1.16.1.2

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.16.1.2.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$(r^{2} + 1) ((r - 3) (r^{2} + 8 r + 4^{2})) = 0$

ステップ 2.1.16.1.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$8 r = 2 \cdot r \cdot 4$

ステップ 2.1.16.1.2.3

多項式を書き換えます。

$(r^{2} + 1) ((r - 3) (r^{2} + 2 \cdot r \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

ステップ 2.1.16.1.2.4

$a = r$ と $b = 4$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$(r^{2} + 1) ((r - 3) {(r + 4)}^{2}) = 0$

ステップ 2.1.16.2

不要な括弧を削除します。

$(r^{2} + 1) (r - 3) {(r + 4)}^{2} = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$r^{2} + 1 = 0$

$r - 3 = 0$

${(r + 4)}^{2} = 0$

ステップ 2.3

$r^{2} + 1$ を $0$ に等しくし、 $r$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$r^{2} + 1$ が $0$ に等しいとします。

$r^{2} + 1 = 0$

ステップ 2.3.2

$r$ について $r^{2} + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$r^{2} = - 1$

ステップ 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \pm \sqrt{- 1}$

ステップ 2.3.2.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$r = \pm i$

ステップ 2.3.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.3.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$r = i$

ステップ 2.3.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$r = - i$

ステップ 2.3.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$r = i, - i$

ステップ 2.4

$r - 3$ を $0$ に等しくし、 $r$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$r - 3$ が $0$ に等しいとします。

$r - 3 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$r = 3$

ステップ 2.5

${(r + 4)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $r$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

${(r + 4)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(r + 4)}^{2} = 0$

ステップ 2.5.2

$r$ について ${(r + 4)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

$r + 4$ が $0$ に等しいとします。

$r + 4 = 0$

ステップ 2.5.2.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$r = - 4$

ステップ 2.6

最終解は $(r^{2} + 1) (r - 3) {(r + 4)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。

$r = i, - i, 3, - 4$

ステップ 3

代数 例

代数例