代数例

$4 y^{2} + x = 56 y - 194$

ステップ 1

方程式の両辺から $4 y^{2}$ を引きます。

$x = 56 y - 194 - 4 y^{2}$

ステップ 2

与えられた放物線の特性を求めます。

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ステップ 2.1

方程式を頂点形で書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$56 y - 194 - 4 y^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

$- 194$ を移動させます。

$x = 56 y - 4 y^{2} - 194$

ステップ 2.1.1.2

$56 y$ と $- 4 y^{2}$ を並べ替えます。

$x = - 4 y^{2} + 56 y - 194$

ステップ 2.1.2

$- 4 y^{2} + 56 y - 194$ の平方完成。

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ステップ 2.1.2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - 4$

$b = 56$

$c = - 194$

ステップ 2.1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 2.1.2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{56}{2 \cdot - 4}$

ステップ 2.1.2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.1.2.3.2.1

$56$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.2.3.2.1.1

$2$ を $56$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 28}{2 \cdot - 4}$

ステップ 2.1.2.3.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.2.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot - 4$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 28}{2 (- 4)}$

ステップ 2.1.2.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 28}{2 \cdot - 4}$

ステップ 2.1.2.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{28}{- 4}$

ステップ 2.1.2.3.2.2

$28$ と $- 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.2.3.2.2.1

$4$ を $28$ で因数分解します。

$d = \frac{4 (7)}{- 4}$

ステップ 2.1.2.3.2.2.2

$\frac{7}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$d = - 1 \cdot 7$

ステップ 2.1.2.3.2.3

$- 1$ に $7$ をかけます。

$d = - 7$

ステップ 2.1.2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = - 194 - \frac{56^{2}}{4 \cdot - 4}$

ステップ 2.1.2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.1.2.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.2.4.2.1.1

$56$ を $2$ 乗します。

$e = - 194 - \frac{3136}{4 \cdot - 4}$

ステップ 2.1.2.4.2.1.2

$4$ に $- 4$ をかけます。

$e = - 194 - \frac{3136}{- 16}$

ステップ 2.1.2.4.2.1.3

$3136$ を $- 16$ で割ります。

$e = - 194 - - 196$

ステップ 2.1.2.4.2.1.4

$- 1$ に $- 196$ をかけます。

$e = - 194 + 196$

ステップ 2.1.2.4.2.2

$- 194$ と $196$ をたし算します。

$e = 2$

ステップ 2.1.2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- 4 {(y - 7)}^{2} + 2$ に代入します。

$- 4 {(y - 7)}^{2} + 2$

ステップ 2.1.3

$x$ は新しい右辺と等しいとします。

$x = - 4 {(y - 7)}^{2} + 2$

ステップ 2.2

頂点形、 $x = a {(y - k)}^{2} + h$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = - 4$

$h = 2$

$k = 7$

ステップ 2.3

$a$ の値が負なので、放物線は左に開です。

左に開

ステップ 2.4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(2, 7)$

ステップ 2.5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 2.5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 2.5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot - 4}$

ステップ 2.5.3

簡約します。

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ステップ 2.5.3.1

$4$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{1}{- 16}$

ステップ 2.5.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{16}$

ステップ 2.6

焦点を求めます。

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ステップ 2.6.1

放物線の焦点は、放物線が左右に開の場合、 $p$ をx座標 $h$ に加えて求められます。

$(h + p, k)$

ステップ 2.6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(\frac{31}{16}, 7)$

ステップ 2.7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$y = 7$

ステップ 2.8

準線を求めます。

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ステップ 2.8.1

放物線の準線は、放物線が左右に開の場合、頂点のx座標 $h$ から $p$ を引いて求められる垂直線です。

$x = h - p$

ステップ 2.8.2

$p$ と $h$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$x = \frac{33}{16}$

ステップ 2.9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：左に開

頂点： $(2, 7)$

焦点： $(\frac{31}{16}, 7)$

対称軸： $y = 7$

準線： $x = \frac{33}{16}$

方向：左に開

頂点： $(2, 7)$

焦点： $(\frac{31}{16}, 7)$

対称軸： $y = 7$

準線： $x = \frac{33}{16}$

ステップ 3

$x$ 値をいくつか選択し、方程式に代入し対応する $y$ 値を求めます。 $x$ 値は頂点の周りで選択しなければなりません。

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ステップ 3.1

$x$ 値の $0$ を $f (x) = \frac{14 + \sqrt{- x + 2}}{2}$ に代入します。この場合、点は $(0, 7.70710678)$ です。

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ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \frac{14 + \sqrt{- (0) + 2}}{2}$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f (0) = \frac{14 + \sqrt{0 + 2}}{2}$

ステップ 3.1.2.1.2

$0$ と $2$ をたし算します。

$f (0) = \frac{14 + \sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.1.2.2

最終的な答えは $\frac{14 + \sqrt{2}}{2}$ です。

$y = \frac{14 + \sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.1.3

$\frac{14 + \sqrt{2}}{2}$ を10進数に変換します。

$= 7.70710678$

ステップ 3.2

$x$ 値の $0$ を $f (x) = \frac{14 - \sqrt{- x + 2}}{2}$ に代入します。この場合、点は $(0, 6.29289321)$ です。

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ステップ 3.2.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \frac{14 - \sqrt{- (0) + 2}}{2}$

ステップ 3.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f (0) = \frac{14 - \sqrt{0 + 2}}{2}$

ステップ 3.2.2.1.2

$0$ と $2$ をたし算します。

$f (0) = \frac{14 - \sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.2.2.2

最終的な答えは $\frac{14 - \sqrt{2}}{2}$ です。

$y = \frac{14 - \sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.2.3

$\frac{14 - \sqrt{2}}{2}$ を10進数に変換します。

$= 6.29289321$

ステップ 3.3

$x$ 値の $1$ を $f (x) = \frac{14 + \sqrt{- x + 2}}{2}$ に代入します。この場合、点は $(1, 7.5)$ です。

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ステップ 3.3.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = \frac{14 + \sqrt{- (1) + 2}}{2}$

ステップ 3.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (1) = \frac{14 + \sqrt{- 1 + 2}}{2}$

ステップ 3.3.2.1.2

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$f (1) = \frac{14 + \sqrt{1}}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$f (1) = \frac{14 + 1}{2}$

ステップ 3.3.2.1.4

$14$ と $1$ をたし算します。

$f (1) = \frac{15}{2}$

ステップ 3.3.2.2

最終的な答えは $\frac{15}{2}$ です。

$y = \frac{15}{2}$

ステップ 3.3.3

$\frac{15}{2}$ を10進数に変換します。

$= 7.5$

ステップ 3.4

$x$ 値の $1$ を $f (x) = \frac{14 - \sqrt{- x + 2}}{2}$ に代入します。この場合、点は $(1, 6.5)$ です。

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ステップ 3.4.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = \frac{14 - \sqrt{- (1) + 2}}{2}$

ステップ 3.4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (1) = \frac{14 - \sqrt{- 1 + 2}}{2}$

ステップ 3.4.2.1.2

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$f (1) = \frac{14 - \sqrt{1}}{2}$

ステップ 3.4.2.1.3

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$f (1) = \frac{14 - 1 \cdot 1}{2}$

ステップ 3.4.2.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (1) = \frac{14 - 1}{2}$

ステップ 3.4.2.1.5

$14$ から $1$ を引きます。

$f (1) = \frac{13}{2}$

ステップ 3.4.2.2

最終的な答えは $\frac{13}{2}$ です。

$y = \frac{13}{2}$

ステップ 3.4.3

$\frac{13}{2}$ を10進数に変換します。

$= 6.5$

ステップ 3.5

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 7.71 \\ 0 & 6.29 \\ 1 & 7.5 \\ 1 & 6.5 \\ 2 & 7 \end{array}$

ステップ 4

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

方向：左に開

頂点： $(2, 7)$

焦点： $(\frac{31}{16}, 7)$

対称軸： $y = 7$

準線： $x = \frac{33}{16}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 7.71 \\ 0 & 6.29 \\ 1 & 7.5 \\ 1 & 6.5 \\ 2 & 7 \end{array}$

ステップ 5

代数 例

代数例