代数例

$x^{\frac{4}{3}} - 10 x^{\frac{2}{3}} + 9 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$x^{\frac{4}{3}}$ を ${(x^{\frac{2}{3}})}^{2}$ に書き換えます。

${(x^{\frac{2}{3}})}^{2} - 10 x^{\frac{2}{3}} + 9 = 0$

ステップ 1.2

$u = x^{\frac{2}{3}}$ とします。 $u$ を $x^{\frac{2}{3}}$ に代入します。

$u^{2} - 10 u + 9 = 0$

ステップ 1.3

たすき掛けを利用して $u^{2} - 10 u + 9$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $9$ で、その和が $- 10$ です。

$- 9, - 1$

ステップ 1.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 9) (u - 1) = 0$

ステップ 1.4

$u$ のすべての発生を $x^{\frac{2}{3}}$ で置き換えます。

$(x^{\frac{2}{3}} - 9) (x^{\frac{2}{3}} - 1) = 0$

ステップ 1.5

$x^{\frac{2}{3}}$ を ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ に書き換えます。

$({(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 9) (x^{\frac{2}{3}} - 1) = 0$

ステップ 1.6

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$({(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 3^{2}) (x^{\frac{2}{3}} - 1) = 0$

ステップ 1.7

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x^{\frac{1}{3}}$ であり、 $b = 3$ です。

$(x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) (x^{\frac{2}{3}} - 1) = 0$

ステップ 1.8

$x^{\frac{2}{3}}$ を ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ に書き換えます。

$(x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) ({(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 1) = 0$

ステップ 1.9

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$(x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) ({(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 1^{2}) = 0$

ステップ 1.10

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.10.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x^{\frac{1}{3}}$ であり、 $b = 1$ です。

$(x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) ((x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} - 1)) = 0$

ステップ 1.10.2

不要な括弧を削除します。

$(x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) (x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} - 1) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{\frac{1}{3}} + 3 = 0$

$x^{\frac{1}{3}} - 3 = 0$

$x^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$

$x^{\frac{1}{3}} - 1 = 0$

ステップ 3

$x^{\frac{1}{3}} + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x^{\frac{1}{3}} + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x^{\frac{1}{3}} + 3 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について $x^{\frac{1}{3}} + 3 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x^{\frac{1}{3}} = - 3$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺を $3$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 3)}^{3}$

ステップ 3.2.3

指数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1.1

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1.1.1

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 3)}^{3}$

ステップ 3.2.3.1.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 3)}^{3}$

ステップ 3.2.3.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{1} = {(- 3)}^{3}$

ステップ 3.2.3.1.1.2

簡約します。

$x = {(- 3)}^{3}$

ステップ 3.2.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.2.1

$- 3$ を $3$ 乗します。

$x = - 27$

ステップ 4

$x^{\frac{1}{3}} - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x^{\frac{1}{3}} - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x^{\frac{1}{3}} - 3 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $x^{\frac{1}{3}} - 3 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x^{\frac{1}{3}} = 3$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺を $3$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 3^{3}$

ステップ 4.2.3

指数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1.1

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1.1.1

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 3^{3}$

ステップ 4.2.3.1.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 3^{3}$

ステップ 4.2.3.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{1} = 3^{3}$

ステップ 4.2.3.1.1.2

簡約します。

$x = 3^{3}$

ステップ 4.2.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.2.1

$3$ を $3$ 乗します。

$x = 27$

ステップ 5

$x^{\frac{1}{3}} + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$x^{\frac{1}{3}} + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $x^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x^{\frac{1}{3}} = - 1$

ステップ 5.2.2

方程式の両辺を $3$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

ステップ 5.2.3

指数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1.1

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

ステップ 5.2.3.1.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

ステップ 5.2.3.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{1} = {(- 1)}^{3}$

ステップ 5.2.3.1.1.2

簡約します。

$x = {(- 1)}^{3}$

ステップ 5.2.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.1

$- 1$ を $3$ 乗します。

$x = - 1$

ステップ 6

$x^{\frac{1}{3}} - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$x^{\frac{1}{3}} - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x^{\frac{1}{3}} - 1 = 0$

ステップ 6.2

$x$ について $x^{\frac{1}{3}} - 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x^{\frac{1}{3}} = 1$

ステップ 6.2.2

方程式の両辺を $3$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 1^{3}$

ステップ 6.2.3

指数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1.1

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1.1.1

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

ステップ 6.2.3.1.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

ステップ 6.2.3.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{1} = 1^{3}$

ステップ 6.2.3.1.1.2

簡約します。

$x = 1^{3}$

ステップ 6.2.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x = 1$

ステップ 7

最終解は $(x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) (x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 27, 27, - 1, 1$

代数 例

代数例