代数例

$f (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 3}{x^{2} - 9}$

ステップ 1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 2 x - 3$ を因数分解します。

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ステップ 1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 3$ で、その和が $- 2$ です。

$- 3, 1$

ステップ 1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$f (x) = \frac{(x - 3) (x + 1)}{x^{2} - 9}$

ステップ 2

$x^{2} - 9$ を因数分解します。

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ステップ 2.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$f (x) = \frac{(x - 3) (x + 1)}{x^{2} - 3^{2}}$

ステップ 2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$f (x) = \frac{(x - 3) (x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$

ステップ 3

$x - 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1

共通因数を約分します。

$f (x) = \frac{(x - 3) (x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$

ステップ 3.2

式を書き換えます。

$f (x) = \frac{x + 1}{x + 3}$

ステップ 4

グラフ内の穴を求めるために、約分された分母の因数を見ます。

$x - 3$

ステップ 5

穴の座標を求めるために、約分した各因数が $0$ に等しいとして解き、 $\frac{x + 1}{x + 3}$ に戻し入れます。

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ステップ 5.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 5.3

$3$ を $\frac{x + 1}{x + 3}$ の中の $x$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.3.1

$3$ を $x$ に代入し、穴の $y$ 座標を求めます。

$\frac{3 + 1}{3 + 3}$

ステップ 5.3.2

簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$3$ と $1$ をたし算します。

$\frac{4}{3 + 3}$

ステップ 5.3.2.2

$3$ と $3$ をたし算します。

$\frac{4}{6}$

ステップ 5.3.2.3

$4$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.3.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 (2)}{6}$

ステップ 5.3.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.3.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.3.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.3.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{3}$

ステップ 5.4

約分した因数のいずれかが $0$ に等しいときのグラフ内の穴が点です。

$(3, \frac{2}{3})$

ステップ 6

代数 例

代数例