代数例

$\frac{x - 2}{x + 3} \leq \frac{5}{3}$

ステップ 1

不等式の両辺から $\frac{5}{3}$ を引きます。

$\frac{x - 2}{x + 3} - \frac{5}{3} \leq 0$

ステップ 2

$\frac{x - 2}{x + 3} - \frac{5}{3}$ を簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{x - 2}{x + 3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{x - 2}{x + 3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{5}{3} \leq 0$

ステップ 2.2

$- \frac{5}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 3}{x + 3}$ を掛けます。

$\frac{x - 2}{x + 3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} \leq 0$

ステップ 2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x + 3) \cdot 3$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{x - 2}{x + 3}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{(x - 2) \cdot 3}{(x + 3) \cdot 3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} \leq 0$

ステップ 2.3.2

$\frac{5}{3}$ に $\frac{x + 3}{x + 3}$ をかけます。

$\frac{(x - 2) \cdot 3}{(x + 3) \cdot 3} - \frac{5 (x + 3)}{3 (x + 3)} \leq 0$

ステップ 2.3.3

$(x + 3) \cdot 3$ の因数を並べ替えます。

$\frac{(x - 2) \cdot 3}{3 (x + 3)} - \frac{5 (x + 3)}{3 (x + 3)} \leq 0$

ステップ 2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(x - 2) \cdot 3 - 5 (x + 3)}{3 (x + 3)} \leq 0$

ステップ 2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot 3 - 2 \cdot 3 - 5 (x + 3)}{3 (x + 3)} \leq 0$

ステップ 2.5.2

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot x - 2 \cdot 3 - 5 (x + 3)}{3 (x + 3)} \leq 0$

ステップ 2.5.3

$- 2$ に $3$ をかけます。

$\frac{3 \cdot x - 6 - 5 (x + 3)}{3 (x + 3)} \leq 0$

ステップ 2.5.4

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x - 6 - 5 x - 5 \cdot 3}{3 (x + 3)} \leq 0$

ステップ 2.5.5

$- 5$ に $3$ をかけます。

$\frac{3 x - 6 - 5 x - 15}{3 (x + 3)} \leq 0$

ステップ 2.5.6

$3 x$ から $5 x$ を引きます。

$\frac{- 2 x - 6 - 15}{3 (x + 3)} \leq 0$

ステップ 2.5.7

$- 6$ から $15$ を引きます。

$\frac{- 2 x - 21}{3 (x + 3)} \leq 0$

ステップ 2.6

$- 1$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{- (2 x) - 21}{3 (x + 3)} \leq 0$

ステップ 2.7

$- 21$ を $- 1 (21)$ に書き換えます。

$\frac{- (2 x) - 1 (21)}{3 (x + 3)} \leq 0$

ステップ 2.8

$- 1$ を $- (2 x) - 1 (21)$ で因数分解します。

$\frac{- (2 x + 21)}{3 (x + 3)} \leq 0$

ステップ 2.9

$- (2 x + 21)$ を $- 1 (2 x + 21)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (2 x + 21)}{3 (x + 3)} \leq 0$

ステップ 2.10

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 x + 21}{3 (x + 3)} \leq 0$

ステップ 3

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$2 x + 21 = 0$

$x + 3 = 0$

ステップ 4

方程式の両辺から $21$ を引きます。

$2 x = - 21$

ステップ 5

$2 x = - 21$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1

$2 x = - 21$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 21}{2}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 21}{2}$

ステップ 5.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 21}{2}$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{21}{2}$

ステップ 6

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 7

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = - \frac{21}{2}$

$x = - 3$

ステップ 8

解をまとめます。

$x = - \frac{21}{2}, - 3$

ステップ 9

$- \frac{2 x + 21}{3 (x + 3)}$ の定義域を求めます。

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ステップ 9.1

$\frac{2 x + 21}{3 (x + 3)}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$3 (x + 3) = 0$

ステップ 9.2

$x$ について解きます。

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ステップ 9.2.1

$3 (x + 3) = 0$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 9.2.1.1

$3 (x + 3) = 0$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 (x + 3)}{3} = \frac{0}{3}$

ステップ 9.2.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 9.2.1.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 (x + 3)}{3} = \frac{0}{3}$

ステップ 9.2.1.2.1.2

$x + 3$ を $1$ で割ります。

$x + 3 = \frac{0}{3}$

ステップ 9.2.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 9.2.1.3.1

$0$ を $3$ で割ります。

$x + 3 = 0$

ステップ 9.2.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 9.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

ステップ 10

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - \frac{21}{2}$

$- \frac{21}{2} < x < - 3$

$x > - 3$

ステップ 11

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 11.1

区間 $x < - \frac{21}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.1.1

区間 $x < - \frac{21}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 13$

ステップ 11.1.2

$x$ を元の不等式の $- 13$ で置き換えます。

$\frac{(- 13) - 2}{(- 13) + 3} \leq \frac{5}{3}$

ステップ 11.1.3

左辺 $1.5$ は右辺 $1.\overline{6}$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 11.2

区間 $- \frac{21}{2} < x < - 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.2.1

区間 $- \frac{21}{2} < x < - 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 7$

ステップ 11.2.2

$x$ を元の不等式の $- 7$ で置き換えます。

$\frac{(- 7) - 2}{(- 7) + 3} \leq \frac{5}{3}$

ステップ 11.2.3

左辺 $2.25$ は右辺 $1.\overline{6}$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 11.3

区間 $x > - 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.3.1

区間 $x > - 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 11.3.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{(0) - 2}{(0) + 3} \leq \frac{5}{3}$

ステップ 11.3.3

左辺 $- 0.\overline{6}$ は右辺 $1.\overline{6}$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 11.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - \frac{21}{2}$ 真

$- \frac{21}{2} < x < - 3$ 偽

$x > - 3$ 真

$x < - \frac{21}{2}$ 真

$- \frac{21}{2} < x < - 3$ 偽

$x > - 3$ 真

ステップ 12

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq - \frac{21}{2}$ または $x > - 3$

ステップ 13

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$x \leq - \frac{21}{2} or x > - 3$

区間記号：

$(- \infty, - \frac{21}{2}] \cup (- 3, \infty)$

ステップ 14

代数 例

代数例