代数例

$y^{2} = x^{2} - 3$

ステップ 1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{x^{2} - 3}$

ステップ 2

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{x^{2} - 3}$

ステップ 2.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{x^{2} - 3}$

ステップ 2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{x^{2} - 3}$

$y = - \sqrt{x^{2} - 3}$

$y = \sqrt{x^{2} - 3}$

$y = - \sqrt{x^{2} - 3}$

ステップ 3

$\sqrt{x^{2} - 3}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x^{2} - 3 \geq 0$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

不等式の両辺に $3$ を足します。

$x^{2} \geq 3$

ステップ 4.2

不等式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{3}$

ステップ 4.3

左辺を簡約します。

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ステップ 4.3.1

累乗根の下から項を取り出します。

$| x | \geq \sqrt{3}$

ステップ 4.4

$| x | \geq \sqrt{3}$ を区分で書きます。

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ステップ 4.4.1

1番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負でない場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 4.4.2

$x$ が負でない区分では、絶対値を削除します。

$x \geq \sqrt{3}$

ステップ 4.4.3

2番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負になる場所を求めます。

$x < 0$

ステップ 4.4.4

$x$ が負である区分では、絶対値を取り除き $- 1$ を掛けます。

$- x \geq \sqrt{3}$

ステップ 4.4.5

区分で書きます。

${\begin{cases} x \geq \sqrt{3} & x \geq 0 \\ - x \geq \sqrt{3} & x < 0 \end{cases}$

ステップ 4.5

$x \geq \sqrt{3}$ と $x \geq 0$ の交点を求めます。

$x \geq \sqrt{3}$

ステップ 4.6

$- x \geq \sqrt{3}$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.6.1

$- x \geq \sqrt{3}$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

ステップ 4.6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.6.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} \leq \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

ステップ 4.6.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \leq \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

ステップ 4.6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.6.3.1

$\frac{\sqrt{3}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$x \leq - 1 \cdot \sqrt{3}$

ステップ 4.6.3.2

$- 1 \cdot \sqrt{3}$ を $- \sqrt{3}$ に書き換えます。

$x \leq - \sqrt{3}$

ステップ 4.7

解の和集合を求めます。

$x \leq - \sqrt{3}$ または $x \geq \sqrt{3}$

ステップ 5

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - \sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \leq - \sqrt{3}, x \geq \sqrt{3}}$

ステップ 6

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${y | y \in ℝ}$

ステップ 7

定義域と値域を判定します。

定義域： $(- \infty, - \sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, \infty), {x | x \leq - \sqrt{3}, x \geq \sqrt{3}}$

値域： $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

ステップ 8

代数 例

代数例