代数例

$\frac{3 + \sqrt{8}}{2 - 2 \sqrt{8}}$

ステップ 1

分子を簡約します。

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ステップ 1.1

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 1.1.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{3 + \sqrt{4 (2)}}{2 - 2 \sqrt{8}}$

ステップ 1.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3 + \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 - 2 \sqrt{8}}$

ステップ 1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2 - 2 \sqrt{8}}$

ステップ 2

分母を簡約します。

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ステップ 2.1

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 2.1.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2 - 2 \sqrt{4 (2)}}$

ステップ 2.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2 - 2 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2 - 2 (2 \sqrt{2})}$

ステップ 2.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2 - 4 \sqrt{2}}$

ステップ 3

$\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2 - 4 \sqrt{2}}$ に $\frac{2 + 4 \sqrt{2}}{2 + 4 \sqrt{2}}$ をかけます。

$\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2 - 4 \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + 4 \sqrt{2}}{2 + 4 \sqrt{2}}$

ステップ 4

項を簡約します。

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ステップ 4.1

$\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2 - 4 \sqrt{2}}$ に $\frac{2 + 4 \sqrt{2}}{2 + 4 \sqrt{2}}$ をかけます。

$\frac{(3 + 2 \sqrt{2}) (2 + 4 \sqrt{2})}{(2 - 4 \sqrt{2}) (2 + 4 \sqrt{2})}$

ステップ 4.2

FOIL法を使って分母を展開します。

$\frac{(3 + 2 \sqrt{2}) (2 + 4 \sqrt{2})}{4 + 8 \sqrt{2} - 8 \sqrt{2} - 16 {\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 4.3

簡約します。

$\frac{(3 + 2 \sqrt{2}) (2 + 4 \sqrt{2})}{- 28}$

ステップ 4.4

$2 + 4 \sqrt{2}$ と $- 28$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.1

$2$ を $(3 + 2 \sqrt{2}) (2 + 4 \sqrt{2})$ で因数分解します。

$\frac{2 ((3 + 2 \sqrt{2}) (1 + 2 \sqrt{2}))}{- 28}$

ステップ 4.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.2.1

$2$ を $- 28$ で因数分解します。

$\frac{2 ((3 + 2 \sqrt{2}) (1 + 2 \sqrt{2}))}{2 (- 14)}$

ステップ 4.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 ((3 + 2 \sqrt{2}) (1 + 2 \sqrt{2}))}{2 \cdot - 14}$

ステップ 4.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{(3 + 2 \sqrt{2}) (1 + 2 \sqrt{2})}{- 14}$

ステップ 5

分配法則（FOIL法）を使って $(3 + 2 \sqrt{2}) (1 + 2 \sqrt{2})$ を展開します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 (1 + 2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} (1 + 2 \sqrt{2})}{- 14}$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{3 \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} (1 + 2 \sqrt{2})}{- 14}$

ステップ 5.3

分配則を当てはめます。

$\frac{3 \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} \cdot 1 + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}{- 14}$

ステップ 6

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 6.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.1.1

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 + 3 (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} \cdot 1 + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}{- 14}$

ステップ 6.1.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} \cdot 1 + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}{- 14}$

ステップ 6.1.3

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}{- 14}$

ステップ 6.1.4

$2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})$ を掛けます。

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ステップ 6.1.4.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} \sqrt{2}}{- 14}$

ステップ 6.1.4.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 4 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{- 14}$

ステップ 6.1.4.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 4 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{- 14}$

ステップ 6.1.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 4 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{- 14}$

ステップ 6.1.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 4 {\sqrt{2}}^{2}}{- 14}$

ステップ 6.1.5

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 6.1.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{- 14}$

ステップ 6.1.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{- 14}$

ステップ 6.1.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{- 14}$

ステップ 6.1.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.5.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{- 14}$

ステップ 6.1.5.4.2

式を書き換えます。

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{1}}{- 14}$

ステップ 6.1.5.5

指数を求めます。

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 4 \cdot 2}{- 14}$

ステップ 6.1.6

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 8}{- 14}$

ステップ 6.2

$3$ と $8$ をたし算します。

$\frac{11 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}}{- 14}$

ステップ 6.3

$6 \sqrt{2}$ と $2 \sqrt{2}$ をたし算します。

$\frac{11 + 8 \sqrt{2}}{- 14}$

ステップ 7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{11 + 8 \sqrt{2}}{14}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{11 + 8 \sqrt{2}}{14}$

10進法形式：

$- 1.59383632 \dots$

代数 例

代数例