代数例

$2 x - 2 y = x^{2} + 9$

ステップ 1

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式の両辺から $2 x$ を引きます。

$- 2 y = x^{2} + 9 - 2 x$

ステップ 1.2

$- 2 y = x^{2} + 9 - 2 x$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- 2 y = x^{2} + 9 - 2 x$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{x^{2}}{- 2} + \frac{9}{- 2} + \frac{- 2 x}{- 2}$

ステップ 1.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{x^{2}}{- 2} + \frac{9}{- 2} + \frac{- 2 x}{- 2}$

ステップ 1.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{x^{2}}{- 2} + \frac{9}{- 2} + \frac{- 2 x}{- 2}$

ステップ 1.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{9}{- 2} + \frac{- 2 x}{- 2}$

ステップ 1.2.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{x^{2}}{2} - \frac{9}{2} + \frac{- 2 x}{- 2}$

ステップ 1.2.3.1.3

$- 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1.3.1

共通因数を約分します。

$y = - \frac{x^{2}}{2} - \frac{9}{2} + \frac{- 2 x}{- 2}$

ステップ 1.2.3.1.3.2

$x$ を $1$ で割ります。

$y = - \frac{x^{2}}{2} - \frac{9}{2} + x$

ステップ 2

与えられた放物線の特性を求めます。

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ステップ 2.1

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 2.1.1

$- \frac{9}{2}$ を移動させます。

$y = - \frac{x^{2}}{2} + x - \frac{9}{2}$

ステップ 2.1.2

$- \frac{x^{2}}{2} + x - \frac{9}{2}$ の平方完成。

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ステップ 2.1.2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - \frac{1}{2}$

$b = 1$

$c = - \frac{9}{2}$

ステップ 2.1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 2.1.2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{1}{2 (- \frac{1}{2})}$

ステップ 2.1.2.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.2.1

$1$ と $- 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.2.1.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$d = \frac{- 1 (- 1)}{2 (- \frac{1}{2})}$

ステップ 2.1.2.3.2.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$d = - \frac{1}{2 (\frac{1}{2})}$

ステップ 2.1.2.3.2.2

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$d = - \frac{1}{\frac{2}{2}}$

ステップ 2.1.2.3.2.3

$2$ を $2$ で割ります。

$d = - \frac{1}{1}$

ステップ 2.1.2.3.2.4

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.2.3.2.4.1

共通因数を約分します。

$d = - \frac{1}{1}$

ステップ 2.1.2.3.2.4.2

式を書き換えます。

$d = - 1 \cdot 1$

ステップ 2.1.2.3.2.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$d = - 1$

ステップ 2.1.2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = - \frac{9}{2} - \frac{1^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

ステップ 2.1.2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.1.2.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.2.4.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$e = - \frac{9}{2} - \frac{1}{4 (- \frac{1}{2})}$

ステップ 2.1.2.4.2.1.2

分母を簡約します。

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ステップ 2.1.2.4.2.1.2.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$e = - \frac{9}{2} - \frac{1}{- 4 (\frac{1}{2})}$

ステップ 2.1.2.4.2.1.2.2

$- 4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e = - \frac{9}{2} - \frac{1}{\frac{- 4}{2}}$

ステップ 2.1.2.4.2.1.3

$- 4$ を $2$ で割ります。

$e = - \frac{9}{2} - \frac{1}{- 2}$

ステップ 2.1.2.4.2.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$e = - \frac{9}{2} - - \frac{1}{2}$

ステップ 2.1.2.4.2.1.5

$- - \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 2.1.2.4.2.1.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e = - \frac{9}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

ステップ 2.1.2.4.2.1.5.2

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$e = - \frac{9}{2} + \frac{1}{2}$

ステップ 2.1.2.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$e = \frac{- 9 + 1}{2}$

ステップ 2.1.2.4.2.3

$- 9$ と $1$ をたし算します。

$e = \frac{- 8}{2}$

ステップ 2.1.2.4.2.4

$- 8$ を $2$ で割ります。

$e = - 4$

ステップ 2.1.2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- \frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} - 4$ に代入します。

$- \frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} - 4$

ステップ 2.1.3

$y$ は新しい右辺と等しいとします。

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{2} - 4$

ステップ 2.2

頂点形、 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = - \frac{1}{2}$

$h = 1$

$k = - 4$

ステップ 2.3

$a$ の値が負なので、放物線は下に開です。

下に開く

ステップ 2.4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(1, - 4)$

ステップ 2.5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 2.5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 2.5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

ステップ 2.5.3

簡約します。

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ステップ 2.5.3.1

$1$ と $- 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.3.1.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

ステップ 2.5.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

ステップ 2.5.3.2

$4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{1}{\frac{4}{2}}$

ステップ 2.5.3.3

$4$ を $2$ で割ります。

$- \frac{1}{2}$

ステップ 2.6

焦点を求めます。

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ステップ 2.6.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、 $p$ をy座標 $k$ に加えて求められます。

$(h, k + p)$

ステップ 2.6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(1, - \frac{9}{2})$

ステップ 2.7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$x = 1$

ステップ 2.8

準線を求めます。

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ステップ 2.8.1

放物線の準線は、放物線が上下に開の場合、頂点のy座標 $k$ から $p$ を引いて求められる水平線です。

$y = k - p$

ステップ 2.8.2

$p$ と $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$y = - \frac{7}{2}$

ステップ 2.9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：下に開

頂点： $(1, - 4)$

焦点： $(1, - \frac{9}{2})$

対称軸： $x = 1$

準線： $y = - \frac{7}{2}$

方向：下に開

頂点： $(1, - 4)$

焦点： $(1, - \frac{9}{2})$

対称軸： $x = 1$

準線： $y = - \frac{7}{2}$

ステップ 3

$x$ 値をいくつか選択し、方程式に代入し対応する $y$ 値を求めます。 $x$ 値は頂点の周りで選択しなければなりません。

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ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = - \frac{{(- 1)}^{2}}{2} - 1 - \frac{9}{2}$

ステップ 3.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.2.1

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

括弧を削除します。

$f (- 1) = - \frac{{(- 1)}^{2}}{2} - 1 - \frac{9}{2}$

ステップ 3.2.1.2

公分母の分子をまとめます。

$f (- 1) = - 1 + \frac{- {(- 1)}^{2} - 9}{2}$

ステップ 3.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$- 1$ に ${(- 1)}^{2}$ をかけます。

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ステップ 3.2.2.1.1.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

$f (- 1) = - 1 + \frac{(- 1) {(- 1)}^{2} - 9}{2}$

ステップ 3.2.2.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (- 1) = - 1 + \frac{{(- 1)}^{1 + 2} - 9}{2}$

ステップ 3.2.2.1.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$f (- 1) = - 1 + \frac{{(- 1)}^{3} - 9}{2}$

ステップ 3.2.2.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- 1) = - 1 + \frac{- 1 - 9}{2}$

ステップ 3.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

$- 1$ から $9$ を引きます。

$f (- 1) = - 1 + \frac{- 10}{2}$

ステップ 3.2.3.2

$- 10$ を $2$ で割ります。

$f (- 1) = - 1 - 5$

ステップ 3.2.3.3

$- 1$ から $5$ を引きます。

$f (- 1) = - 6$

ステップ 3.2.4

最終的な答えは $- 6$ です。

$- 6$

ステップ 3.3

$x = - 1$ における $y$ 値は $- 6$ です。

$y = - 6$

ステップ 3.4

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = - \frac{{(0)}^{2}}{2} + 0 - \frac{9}{2}$

ステップ 3.5

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.1

括弧を削除します。

$f (0) = - \frac{{(0)}^{2}}{2} + 0 - \frac{9}{2}$

ステップ 3.5.1.2

公分母の分子をまとめます。

$f (0) = \frac{- {(0)}^{2} - 9}{2}$

ステップ 3.5.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = \frac{- 0 - 9}{2}$

ステップ 3.5.2.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f (0) = \frac{0 - 9}{2}$

ステップ 3.5.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1

$0$ から $9$ を引きます。

$f (0) = \frac{- 9}{2}$

ステップ 3.5.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (0) = - \frac{9}{2}$

ステップ 3.5.4

最終的な答えは $- \frac{9}{2}$ です。

$- \frac{9}{2}$

ステップ 3.6

$x = 0$ における $y$ 値は $- \frac{9}{2}$ です。

$y = - \frac{9}{2}$

ステップ 3.7

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f (3) = - \frac{{(3)}^{2}}{2} + 3 - \frac{9}{2}$

ステップ 3.8

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1.1

括弧を削除します。

$f (3) = - \frac{{(3)}^{2}}{2} + 3 - \frac{9}{2}$

ステップ 3.8.1.2

公分母の分子をまとめます。

$f (3) = 3 + \frac{- {(3)}^{2} - 9}{2}$

ステップ 3.8.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.2.1

$3$ を $2$ 乗します。

$f (3) = 3 + \frac{- 1 \cdot 9 - 9}{2}$

ステップ 3.8.2.2

$- 1$ に $9$ をかけます。

$f (3) = 3 + \frac{- 9 - 9}{2}$

ステップ 3.8.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.3.1

$- 9$ から $9$ を引きます。

$f (3) = 3 + \frac{- 18}{2}$

ステップ 3.8.3.2

$- 18$ を $2$ で割ります。

$f (3) = 3 - 9$

ステップ 3.8.3.3

$3$ から $9$ を引きます。

$f (3) = - 6$

ステップ 3.8.4

最終的な答えは $- 6$ です。

$- 6$

ステップ 3.9

$x = 3$ における $y$ 値は $- 6$ です。

$y = - 6$

ステップ 3.10

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = - \frac{{(2)}^{2}}{2} + 2 - \frac{9}{2}$

ステップ 3.11

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.1

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.1.1

括弧を削除します。

$f (2) = - \frac{{(2)}^{2}}{2} + 2 - \frac{9}{2}$

ステップ 3.11.1.2

公分母の分子をまとめます。

$f (2) = 2 + \frac{- {(2)}^{2} - 9}{2}$

ステップ 3.11.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.2.1

$2$ を $2$ 乗します。

$f (2) = 2 + \frac{- 1 \cdot 4 - 9}{2}$

ステップ 3.11.2.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$f (2) = 2 + \frac{- 4 - 9}{2}$

ステップ 3.11.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.3.1

$- 4$ から $9$ を引きます。

$f (2) = 2 + \frac{- 13}{2}$

ステップ 3.11.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (2) = 2 - \frac{13}{2}$

ステップ 3.11.4

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (2) = 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{13}{2}$

ステップ 3.11.5

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f (2) = \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{13}{2}$

ステップ 3.11.6

公分母の分子をまとめます。

$f (2) = \frac{2 \cdot 2 - 13}{2}$

ステップ 3.11.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.7.1

$2$ に $2$ をかけます。

$f (2) = \frac{4 - 13}{2}$

ステップ 3.11.7.2

$4$ から $13$ を引きます。

$f (2) = \frac{- 9}{2}$

ステップ 3.11.8

分数の前に負数を移動させます。

$f (2) = - \frac{9}{2}$

ステップ 3.11.9

最終的な答えは $- \frac{9}{2}$ です。

$- \frac{9}{2}$

ステップ 3.12

$x = 2$ における $y$ 値は $- \frac{9}{2}$ です。

$y = - \frac{9}{2}$

ステップ 3.13

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 6 \\ 0 & - \frac{9}{2} \\ 1 & - 4 \\ 2 & - \frac{9}{2} \\ 3 & - 6 \end{array}$

ステップ 4

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

方向：下に開

頂点： $(1, - 4)$

焦点： $(1, - \frac{9}{2})$

対称軸： $x = 1$

準線： $y = - \frac{7}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 6 \\ 0 & - \frac{9}{2} \\ 1 & - 4 \\ 2 & - \frac{9}{2} \\ 3 & - 6 \end{array}$

ステップ 5

代数 例

代数例