代数例

$x^{9} - x^{5} + x^{4} - 1 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x^{9} - x^{5}) + x^{4} - 1 = 0$

ステップ 1.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x^{5} (x^{4} - 1) + 1 (x^{4} - 1) = 0$

ステップ 1.2

最大公約数 $x^{4} - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x^{4} - 1) (x^{5} + 1) = 0$

ステップ 1.3

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$({(x^{2})}^{2} - 1) (x^{5} + 1) = 0$

ステップ 1.4

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$({(x^{2})}^{2} - 1^{2}) (x^{5} + 1) = 0$

ステップ 1.5

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x^{2}$ であり、 $b = 1$ です。

$(x^{2} + 1) (x^{2} - 1) (x^{5} + 1) = 0$

ステップ 1.6

簡約します。

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ステップ 1.6.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$(x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2}) (x^{5} + 1) = 0$

ステップ 1.6.2

因数分解。

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ステップ 1.6.2.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$(x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1)) (x^{5} + 1) = 0$

ステップ 1.6.2.2

不要な括弧を削除します。

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (x^{5} + 1) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} + 1 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

$x^{5} + 1 = 0$

ステップ 3

$x^{2} + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$x^{2} + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 1 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について $x^{2} + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x^{2} = - 1$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- 1}$

ステップ 3.2.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i$

ステップ 3.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = i$

ステップ 3.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - i$

ステップ 3.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = i, - i$

ステップ 4

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 4.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 5

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 6

$x^{5} + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$x^{5} + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x^{5} + 1 = 0$

ステップ 6.2

$x$ について $x^{5} + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 6.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x^{5} = - 1$

ステップ 6.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \sqrt[5]{- 1}$

ステップ 6.2.3

$\sqrt[5]{- 1}$ を簡約します。

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ステップ 6.2.3.1

$- 1$ を ${(- 1)}^{5}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[5]{{(- 1)}^{5}}$

ステップ 6.2.3.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = - 1$

ステップ 7

最終解は $(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (x^{5} + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = i, - i, - 1, 1$

代数 例

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