代数例

$12 e^{2 x} - 5 = 17 e^{x}$

ステップ 1

方程式の両辺から $17 e^{x}$ を引きます。

$12 e^{2 x} - 5 - 17 e^{x} = 0$

ステップ 2

$e^{2 x}$ を累乗法として書き換えます。

$12 {(e^{x})}^{2} - 5 - 17 e^{x} = 0$

ステップ 3

$u$ を $e^{x}$ に代入します。

$12 u^{2} - 5 - 17 u = 0$

ステップ 4

$- 5$ を移動させます。

$12 u^{2} - 17 u - 5 = 0$

ステップ 5

$u$ について解きます。

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ステップ 5.1

群による因数分解。

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ステップ 5.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 12 \cdot - 5 = - 60$ で和が $b = - 17$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 5.1.1.1

$- 17$ を $- 17 u$ で因数分解します。

$12 u^{2} - 17 u - 5 = 0$

ステップ 5.1.1.2

$- 17$ を $3$ プラス $- 20$ に書き換える

$12 u^{2} + (3 - 20) u - 5 = 0$

ステップ 5.1.1.3

分配則を当てはめます。

$12 u^{2} + 3 u - 20 u - 5 = 0$

ステップ 5.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 5.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(12 u^{2} + 3 u) - 20 u - 5 = 0$

ステップ 5.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$3 u (4 u + 1) - 5 (4 u + 1) = 0$

ステップ 5.1.3

最大公約数 $4 u + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(4 u + 1) (3 u - 5) = 0$

ステップ 5.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$4 u + 1 = 0$

$3 u - 5 = 0$

ステップ 5.3

$4 u + 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 5.3.1

$4 u + 1$ が $0$ に等しいとします。

$4 u + 1 = 0$

ステップ 5.3.2

$u$ について $4 u + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.3.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$4 u = - 1$

ステップ 5.3.2.2

$4 u = - 1$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.2.2.1

$4 u = - 1$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 1}{4}$

ステップ 5.3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 1}{4}$

ステップ 5.3.2.2.2.1.2

$u$ を $1$ で割ります。

$u = \frac{- 1}{4}$

ステップ 5.3.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$u = - \frac{1}{4}$

ステップ 5.4

$3 u - 5$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 5.4.1

$3 u - 5$ が $0$ に等しいとします。

$3 u - 5 = 0$

ステップ 5.4.2

$u$ について $3 u - 5 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.4.2.1

方程式の両辺に $5$ を足します。

$3 u = 5$

ステップ 5.4.2.2

$3 u = 5$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.2.2.1

$3 u = 5$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 u}{3} = \frac{5}{3}$

ステップ 5.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 u}{3} = \frac{5}{3}$

ステップ 5.4.2.2.2.1.2

$u$ を $1$ で割ります。

$u = \frac{5}{3}$

ステップ 5.5

最終解は $(4 u + 1) (3 u - 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = - \frac{1}{4}, \frac{5}{3}$

ステップ 6

$- \frac{1}{4}$ を $u = e^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$- \frac{1}{4} = e^{x}$

ステップ 7

$- \frac{1}{4} = e^{x}$ を解きます。

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ステップ 7.1

方程式を $e^{x} = - \frac{1}{4}$ として書き換えます。

$e^{x} = - \frac{1}{4}$

ステップ 7.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (- \frac{1}{4})$

ステップ 7.3

$\ln (- \frac{1}{4})$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 7.4

$e^{x} = - \frac{1}{4}$ の解はありません

解がありません

ステップ 8

$\frac{5}{3}$ を $u = e^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$\frac{5}{3} = e^{x}$

ステップ 9

$\frac{5}{3} = e^{x}$ を解きます。

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ステップ 9.1

方程式を $e^{x} = \frac{5}{3}$ として書き換えます。

$e^{x} = \frac{5}{3}$

ステップ 9.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{5}{3})$

ステップ 9.3

左辺を展開します。

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ステップ 9.3.1

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$x \ln (e) = \ln (\frac{5}{3})$

ステップ 9.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$x \cdot 1 = \ln (\frac{5}{3})$

ステップ 9.3.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x = \ln (\frac{5}{3})$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \ln (\frac{5}{3})$

10進法形式：

$x = 0.51082562 \dots$

代数 例

代数例