代数例

$\frac{x^{2} - 3 x - 10}{1 - x} \geq 2$

ステップ 1

不等式の両辺から $2$ を引きます。

$\frac{x^{2} - 3 x - 10}{1 - x} - 2 \geq 0$

ステップ 2

$\frac{x^{2} - 3 x - 10}{1 - x} - 2$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 3 x - 10$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 10$ で、その和が $- 3$ です。

$- 5, 2$

ステップ 2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{1 - x} - 2 \geq 0$

ステップ 2.2

$- 2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 - x}{1 - x}$ を掛けます。

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{1 - x} - 2 \cdot \frac{1 - x}{1 - x} \geq 0$

ステップ 2.3

$- 2$ と $\frac{1 - x}{1 - x}$ をまとめます。

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{1 - x} + \frac{- 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

ステップ 2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(x - 5) (x + 2) - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

ステップ 2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 5) (x + 2)$ を展開します。

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ステップ 2.5.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x (x + 2) - 5 (x + 2) - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

ステップ 2.5.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 - 5 (x + 2) - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

ステップ 2.5.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 - 5 x - 5 \cdot 2 - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

ステップ 2.5.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 2.5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.5.2.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{2} + x \cdot 2 - 5 x - 5 \cdot 2 - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

ステップ 2.5.2.1.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x - 5 x - 5 \cdot 2 - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

ステップ 2.5.2.1.3

$- 5$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 2 x - 5 x - 10 - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

ステップ 2.5.2.2

$2 x$ から $5 x$ を引きます。

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

ステップ 2.5.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 \cdot 1 - 2 (- x)}{1 - x} \geq 0$

ステップ 2.5.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 - 2 (- x)}{1 - x} \geq 0$

ステップ 2.5.5

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 + 2 x}{1 - x} \geq 0$

ステップ 2.5.6

$- 3 x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{x^{2} - x - 10 - 2}{1 - x} \geq 0$

ステップ 2.5.7

$- 10$ から $2$ を引きます。

$\frac{x^{2} - x - 12}{1 - x} \geq 0$

ステップ 2.5.8

たすき掛けを利用して $x^{2} - x - 12$ を因数分解します。

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ステップ 2.5.8.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 12$ で、その和が $- 1$ です。

$- 4, 3$

ステップ 2.5.8.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{(x - 4) (x + 3)}{1 - x} \geq 0$

ステップ 3

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

$1 - x = 0$

ステップ 4

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 5

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 6

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- x = - 1$

ステップ 7

$- x = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$- x = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 7.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$x = 1$

ステップ 8

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = 4$

$x = - 3$

$x = 1$

ステップ 9

解をまとめます。

$x = 4, - 3, 1$

ステップ 10

$\frac{(x - 4) (x + 3)}{1 - x}$ の定義域を求めます。

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ステップ 10.1

$\frac{(x - 4) (x + 3)}{1 - x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$1 - x = 0$

ステップ 10.2

$x$ について解きます。

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ステップ 10.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- x = - 1$

ステップ 10.2.2

$- x = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 10.2.2.1

$- x = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 10.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 10.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 10.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 10.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 10.2.2.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$x = 1$

ステップ 10.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 11

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 3$

$- 3 < x < 1$

$1 < x < 4$

$x > 4$

ステップ 12

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 12.1

区間 $x < - 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.1.1

区間 $x < - 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 12.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

$\frac{{(- 6)}^{2} - 3 \cdot - 6 - 10}{1 - (- 6)} \geq 2$

ステップ 12.1.3

左辺 $6.\overline{285714}$ は右辺 $2$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 12.2

区間 $- 3 < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.2.1

区間 $- 3 < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 12.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{{(0)}^{2} - 3 \cdot 0 - 10}{1 - (0)} \geq 2$

ステップ 12.2.3

左辺 $- 10$ は右辺 $2$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 12.3

区間 $1 < x < 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.3.1

区間 $1 < x < 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 12.3.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$\frac{{(2)}^{2} - 3 \cdot 2 - 10}{1 - (2)} \geq 2$

ステップ 12.3.3

左辺 $12$ は右辺 $2$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 12.4

区間 $x > 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.4.1

区間 $x > 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 12.4.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$\frac{{(6)}^{2} - 3 \cdot 6 - 10}{1 - (6)} \geq 2$

ステップ 12.4.3

左辺 $- 1.6$ は右辺 $2$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 12.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 3$ 真

$- 3 < x < 1$ 偽

$1 < x < 4$ 真

$x > 4$ 偽

$x < - 3$ 真

$- 3 < x < 1$ 偽

$1 < x < 4$ 真

$x > 4$ 偽

ステップ 13

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq - 3$ または $1 < x \leq 4$

ステップ 14

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$x \leq - 3 or 1 < x \leq 4$

区間記号：

$(- \infty, - 3] \cup (1, 4]$

ステップ 15

代数 例

代数例