代数例

$\sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9} \leq 9$

ステップ 1

不等式の左辺から根を削除するため、不等式の両辺を2乗します。

${\sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9}}^{2} \leq 9^{2}$

ステップ 2

不等式の各辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9}$ を ${(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 9^{2}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

${({(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

${({(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 9^{2}$

ステップ 2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 9^{2}$

ステップ 2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{1} \leq 9^{2}$

ステップ 2.2.1.2

簡約します。

$4 x^{2} - 12 x + 9 \leq 9^{2}$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

$9$ を $2$ 乗します。

$4 x^{2} - 12 x + 9 \leq 81$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

不等式を方程式に変換します。

$4 x^{2} - 12 x + 9 = 81$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $81$ を引きます。

$4 x^{2} - 12 x + 9 - 81 = 0$

ステップ 3.3

$9$ から $81$ を引きます。

$4 x^{2} - 12 x - 72 = 0$

ステップ 3.4

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 3.4.1

$4$ を $4 x^{2} - 12 x - 72$ で因数分解します。

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ステップ 3.4.1.1

$4$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$4 (x^{2}) - 12 x - 72 = 0$

ステップ 3.4.1.2

$4$ を $- 12 x$ で因数分解します。

$4 (x^{2}) + 4 (- 3 x) - 72 = 0$

ステップ 3.4.1.3

$4$ を $- 72$ で因数分解します。

$4 x^{2} + 4 (- 3 x) + 4 \cdot - 18 = 0$

ステップ 3.4.1.4

$4$ を $4 x^{2} + 4 (- 3 x)$ で因数分解します。

$4 (x^{2} - 3 x) + 4 \cdot - 18 = 0$

ステップ 3.4.1.5

$4$ を $4 (x^{2} - 3 x) + 4 \cdot - 18$ で因数分解します。

$4 (x^{2} - 3 x - 18) = 0$

ステップ 3.4.2

因数分解。

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ステップ 3.4.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 3 x - 18$ を因数分解します。

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ステップ 3.4.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 18$ で、その和が $- 3$ です。

$- 6, 3$

ステップ 3.4.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$4 ((x - 6) (x + 3)) = 0$

ステップ 3.4.2.2

不要な括弧を削除します。

$4 (x - 6) (x + 3) = 0$

ステップ 3.5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 6 = 0$

$x + 3 = 0$

ステップ 3.6

$x - 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.6.1

$x - 6$ が $0$ に等しいとします。

$x - 6 = 0$

ステップ 3.6.2

方程式の両辺に $6$ を足します。

$x = 6$

ステップ 3.7

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.7.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 3.7.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 3.8

最終解は $4 (x - 6) (x + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 6, - 3$

ステップ 4

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 3$

$- 3 < x < 6$

$x > 6$

ステップ 5

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 5.1

区間 $x < - 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 5.1.1

区間 $x < - 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 5.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

$\sqrt{4 {(- 6)}^{2} - 12 \cdot - 6 + 9} \leq 9$

ステップ 5.1.3

左辺 $15$ は右辺 $9$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 5.2

区間 $- 3 < x < 6$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 5.2.1

区間 $- 3 < x < 6$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 5.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\sqrt{4 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 9} \leq 9$

ステップ 5.2.3

左辺 $3$ は右辺 $9$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 5.3

区間 $x > 6$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 5.3.1

区間 $x > 6$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 8$

ステップ 5.3.2

$x$ を元の不等式の $8$ で置き換えます。

$\sqrt{4 {(8)}^{2} - 12 \cdot 8 + 9} \leq 9$

ステップ 5.3.3

左辺 $13$ は右辺 $9$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 5.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 3$ 偽

$- 3 < x < 6$ 真

$x > 6$ 偽

$x < - 3$ 偽

$- 3 < x < 6$ 真

$x > 6$ 偽

ステップ 6

解はすべての真の区間からなります。

$- 3 \leq x \leq 6$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$- 3 \leq x \leq 6$

区間記号：

$[- 3, 6]$

ステップ 8

代数 例

代数例