代数例

$3 x - y^{2} = 8 y + 1$

ステップ 1

方程式の両辺に $y^{2}$ を足します。

$3 x = 8 y + 1 + y^{2}$

ステップ 2

$3 x = 8 y + 1 + y^{2}$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$3 x = 8 y + 1 + y^{2}$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{8 y}{3} + \frac{1}{3} + \frac{y^{2}}{3}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{8 y}{3} + \frac{1}{3} + \frac{y^{2}}{3}$

ステップ 2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{8 y}{3} + \frac{1}{3} + \frac{y^{2}}{3}$

ステップ 3

与えられた放物線の特性を求めます。

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ステップ 3.1

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 3.1.1

$\frac{8 y}{3} + \frac{1}{3} + \frac{y^{2}}{3}$ を簡約します。

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ステップ 3.1.1.1

$\frac{1}{3}$ を移動させます。

$x = \frac{8 y}{3} + \frac{y^{2}}{3} + \frac{1}{3}$

ステップ 3.1.1.2

$\frac{8 y}{3}$ と $\frac{y^{2}}{3}$ を並べ替えます。

$x = \frac{y^{2}}{3} + \frac{8 y}{3} + \frac{1}{3}$

ステップ 3.1.2

$\frac{y^{2}}{3} + \frac{8 y}{3} + \frac{1}{3}$ の平方完成。

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ステップ 3.1.2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = \frac{1}{3}$

$b = \frac{8}{3}$

$c = \frac{1}{3}$

ステップ 3.1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 3.1.2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{\frac{8}{3}}{2 (\frac{1}{3})}$

ステップ 3.1.2.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.3.2.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$d = \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{3})}$

ステップ 3.1.2.3.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.3.2.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$d = \frac{2 (4)}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{3})}$

ステップ 3.1.2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 4}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{3})}$

ステップ 3.1.2.3.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3}}$

ステップ 3.1.2.3.2.3

$\frac{4}{3}$ に $\frac{1}{\frac{1}{3}}$ をかけます。

$d = \frac{4}{3 (\frac{1}{3})}$

ステップ 3.1.2.3.2.4

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$d = \frac{4}{\frac{3}{3}}$

ステップ 3.1.2.3.2.5

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.3.2.5.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{4}{\frac{3}{3}}$

ステップ 3.1.2.3.2.5.2

式を書き換えます。

$d = \frac{4}{1}$

ステップ 3.1.2.3.2.6

$4$ を $1$ で割ります。

$d = 4$

ステップ 3.1.2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = \frac{1}{3} - \frac{{(\frac{8}{3})}^{2}}{4 (\frac{1}{3})}$

ステップ 3.1.2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.1.2.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.2.4.2.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.1.2.4.2.1.1.1

積の法則を $\frac{8}{3}$ に当てはめます。

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{8^{2}}{3^{2}}}{4 (\frac{1}{3})}$

ステップ 3.1.2.4.2.1.1.2

$8$ を $2$ 乗します。

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{64}{3^{2}}}{4 (\frac{1}{3})}$

ステップ 3.1.2.4.2.1.1.3

$3$ を $2$ 乗します。

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{64}{9}}{4 (\frac{1}{3})}$

ステップ 3.1.2.4.2.1.2

$4$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{64}{9}}{\frac{4}{3}}$

ステップ 3.1.2.4.2.1.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$e = \frac{1}{3} - (\frac{64}{9} \cdot \frac{3}{4})$

ステップ 3.1.2.4.2.1.4

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.2.4.2.1.4.1

$4$ を $64$ で因数分解します。

$e = \frac{1}{3} - (\frac{4 (16)}{9} \cdot \frac{3}{4})$

ステップ 3.1.2.4.2.1.4.2

共通因数を約分します。

$e = \frac{1}{3} - (\frac{4 \cdot 16}{9} \cdot \frac{3}{4})$

ステップ 3.1.2.4.2.1.4.3

式を書き換えます。

$e = \frac{1}{3} - (\frac{16}{9} \cdot 3)$

ステップ 3.1.2.4.2.1.5

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.2.4.2.1.5.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$e = \frac{1}{3} - (\frac{16}{3 (3)} \cdot 3)$

ステップ 3.1.2.4.2.1.5.2

共通因数を約分します。

$e = \frac{1}{3} - (\frac{16}{3 \cdot 3} \cdot 3)$

ステップ 3.1.2.4.2.1.5.3

式を書き換えます。

$e = \frac{1}{3} - \frac{16}{3}$

ステップ 3.1.2.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$e = \frac{1 - 16}{3}$

ステップ 3.1.2.4.2.3

$1$ から $16$ を引きます。

$e = \frac{- 15}{3}$

ステップ 3.1.2.4.2.4

$- 15$ を $3$ で割ります。

$e = - 5$

ステップ 3.1.2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $\frac{1}{3} {(y + 4)}^{2} - 5$ に代入します。

$\frac{1}{3} {(y + 4)}^{2} - 5$

ステップ 3.1.3

$x$ は新しい右辺と等しいとします。

$x = \frac{1}{3} \cdot {(y + 4)}^{2} - 5$

ステップ 3.2

頂点形、 $x = a {(y - k)}^{2} + h$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = \frac{1}{3}$

$h = - 5$

$k = - 4$

ステップ 3.3

$a$ の値が正なので、放物線は右に開です。

右に開く

ステップ 3.4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(- 5, - 4)$

ステップ 3.5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 3.5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 3.5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{3}}$

ステップ 3.5.3

簡約します。

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ステップ 3.5.3.1

$4$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{\frac{4}{3}}$

ステップ 3.5.3.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$1 (\frac{3}{4})$

ステップ 3.5.3.3

$\frac{3}{4}$ に $1$ をかけます。

$\frac{3}{4}$

ステップ 3.6

焦点を求めます。

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ステップ 3.6.1

放物線の焦点は、放物線が左右に開の場合、 $p$ をx座標 $h$ に加えて求められます。

$(h + p, k)$

ステップ 3.6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- \frac{17}{4}, - 4)$

ステップ 3.7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$y = - 4$

ステップ 3.8

準線を求めます。

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ステップ 3.8.1

放物線の準線は、放物線が左右に開の場合、頂点のx座標 $h$ から $p$ を引いて求められる垂直線です。

$x = h - p$

ステップ 3.8.2

$p$ と $h$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$x = - \frac{23}{4}$

ステップ 3.9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：右に開

頂点： $(- 5, - 4)$

焦点： $(- \frac{17}{4}, - 4)$

対称軸： $y = - 4$

準線： $x = - \frac{23}{4}$

方向：右に開

頂点： $(- 5, - 4)$

焦点： $(- \frac{17}{4}, - 4)$

対称軸： $y = - 4$

準線： $x = - \frac{23}{4}$

ステップ 4

$x$ 値をいくつか選択し、方程式に代入し対応する $y$ 値を求めます。 $x$ 値は頂点の周りで選択しなければなりません。

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ステップ 4.1

$x$ 値の $- 4$ を $f (x) = - 4 - \sqrt{3 (x + 5)}$ に代入します。この場合、点は $(- 4, - 5.7320508)$ です。

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ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f (- 4) = - 4 - \sqrt{3 ((- 4) + 5)}$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$- 4$ と $5$ をたし算します。

$f (- 4) = - 4 - \sqrt{3 \cdot 1}$

ステップ 4.1.2.1.2

$3$ に $1$ をかけます。

$f (- 4) = - 4 - \sqrt{3}$

ステップ 4.1.2.2

最終的な答えは $- 4 - \sqrt{3}$ です。

$y = - 4 - \sqrt{3}$

ステップ 4.1.3

$- 4 - \sqrt{3}$ を10進数に変換します。

$= - 5.7320508$

ステップ 4.2

$x$ 値の $- 4$ を $f (x) = - 4 + \sqrt{3 (x + 5)}$ に代入します。この場合、点は $(- 4, - 2.26794919)$ です。

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ステップ 4.2.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f (- 4) = - 4 + \sqrt{3 ((- 4) + 5)}$

ステップ 4.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$- 4$ と $5$ をたし算します。

$f (- 4) = - 4 + \sqrt{3 \cdot 1}$

ステップ 4.2.2.1.2

$3$ に $1$ をかけます。

$f (- 4) = - 4 + \sqrt{3}$

ステップ 4.2.2.2

最終的な答えは $- 4 + \sqrt{3}$ です。

$y = - 4 + \sqrt{3}$

ステップ 4.2.3

$- 4 + \sqrt{3}$ を10進数に変換します。

$= - 2.26794919$

ステップ 4.3

$x$ 値の $- 3$ を $f (x) = - 4 - \sqrt{3 (x + 5)}$ に代入します。この場合、点は $(- 3, - 6.44948974)$ です。

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ステップ 4.3.1

式の変数 $x$ を $- 3$ で置換えます。

$f (- 3) = - 4 - \sqrt{3 ((- 3) + 5)}$

ステップ 4.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$- 3$ と $5$ をたし算します。

$f (- 3) = - 4 - \sqrt{3 \cdot 2}$

ステップ 4.3.2.1.2

$3$ に $2$ をかけます。

$f (- 3) = - 4 - \sqrt{6}$

ステップ 4.3.2.2

最終的な答えは $- 4 - \sqrt{6}$ です。

$y = - 4 - \sqrt{6}$

ステップ 4.3.3

$- 4 - \sqrt{6}$ を10進数に変換します。

$= - 6.44948974$

ステップ 4.4

$x$ 値の $- 3$ を $f (x) = - 4 + \sqrt{3 (x + 5)}$ に代入します。この場合、点は $(- 3, - 1.55051025)$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

式の変数 $x$ を $- 3$ で置換えます。

$f (- 3) = - 4 + \sqrt{3 ((- 3) + 5)}$

ステップ 4.4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1.1

$- 3$ と $5$ をたし算します。

$f (- 3) = - 4 + \sqrt{3 \cdot 2}$

ステップ 4.4.2.1.2

$3$ に $2$ をかけます。

$f (- 3) = - 4 + \sqrt{6}$

ステップ 4.4.2.2

最終的な答えは $- 4 + \sqrt{6}$ です。

$y = - 4 + \sqrt{6}$

ステップ 4.4.3

$- 4 + \sqrt{6}$ を10進数に変換します。

$= - 1.55051025$

ステップ 4.5

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & - 4 \\ - 4 & - 5.73 \\ - 4 & - 2.27 \\ - 3 & - 6.45 \\ - 3 & - 1.55 \end{array}$

ステップ 5

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

方向：右に開

頂点： $(- 5, - 4)$

焦点： $(- \frac{17}{4}, - 4)$

対称軸： $y = - 4$

準線： $x = - \frac{23}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & - 4 \\ - 4 & - 5.73 \\ - 4 & - 2.27 \\ - 3 & - 6.45 \\ - 3 & - 1.55 \end{array}$

ステップ 6

代数 例

代数例