代数例

$\frac{x + 3}{{(x - 4)}^{2} (x^{2} - 4)} \leq 0$

ステップ 1

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x + 3 = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

$x^{2} - 4 = 0$

ステップ 2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 3

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 4

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 5

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x^{2} = 4$

ステップ 6

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{4}$

ステップ 7

$\pm \sqrt{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

ステップ 7.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 2$

ステップ 8

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2$

ステップ 8.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2$

ステップ 8.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2, - 2$

ステップ 9

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = - 3$

$x = 4$

$x = 2, - 2$

ステップ 10

解をまとめます。

$x = - 3, 4, 2, - 2$

ステップ 11

$\frac{x + 3}{{(x - 4)}^{2} (x^{2} - 4)}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$\frac{x + 3}{{(x - 4)}^{2} (x^{2} - 4)}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x - 4)}^{2} (x^{2} - 4) = 0$

ステップ 11.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

${(x - 4)}^{2} = 0$

$x^{2} - 4 = 0$

ステップ 11.2.2

${(x - 4)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

${(x - 4)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 4)}^{2} = 0$

ステップ 11.2.2.2

$x$ について ${(x - 4)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.2.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 11.2.2.2.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 11.2.3

$x^{2} - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.3.1

$x^{2} - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 4 = 0$

ステップ 11.2.3.2

$x$ について $x^{2} - 4 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.3.2.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x^{2} = 4$

ステップ 11.2.3.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{4}$

ステップ 11.2.3.2.3

$\pm \sqrt{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.3.2.3.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

ステップ 11.2.3.2.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 2$

ステップ 11.2.3.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.3.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2$

ステップ 11.2.3.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2$

ステップ 11.2.3.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2, - 2$

ステップ 11.2.4

最終解は ${(x - 4)}^{2} (x^{2} - 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 4, 2, - 2$

ステップ 11.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, 4) \cup (4, \infty)$

ステップ 12

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 3$

$- 3 < x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$2 < x < 4$

$x > 4$

ステップ 13

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

区間 $x < - 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

区間 $x < - 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 13.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

$\frac{(- 6) + 3}{{((- 6) - 4)}^{2} ({(- 6)}^{2} - 4)} \leq 0$

ステップ 13.1.3

左辺 $- 0.0009375$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 13.2

区間 $- 3 < x < - 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1

区間 $- 3 < x < - 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2.5$

ステップ 13.2.2

$x$ を元の不等式の $- 2.5$ で置き換えます。

$\frac{(- 2.5) + 3}{{((- 2.5) - 4)}^{2} ({(- 2.5)}^{2} - 4)} \leq 0$

ステップ 13.2.3

左辺 $0.00525969$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 13.3

区間 $- 2 < x < 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.1

区間 $- 2 < x < 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 13.3.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{(0) + 3}{{((0) - 4)}^{2} ({(0)}^{2} - 4)} \leq 0$

ステップ 13.3.3

左辺 $- 0.046875$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 13.4

区間 $2 < x < 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.4.1

区間 $2 < x < 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$

ステップ 13.4.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

$\frac{(3) + 3}{{((3) - 4)}^{2} ({(3)}^{2} - 4)} \leq 0$

ステップ 13.4.3

左辺 $1.2$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 13.5

区間 $x > 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.5.1

区間 $x > 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 13.5.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$\frac{(6) + 3}{{((6) - 4)}^{2} ({(6)}^{2} - 4)} \leq 0$

ステップ 13.5.3

左辺 $0.0703125$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 13.6

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 3$ 真

$- 3 < x < - 2$ 偽

$- 2 < x < 2$ 真

$2 < x < 4$ 偽

$x > 4$ 偽

$x < - 3$ 真

$- 3 < x < - 2$ 偽

$- 2 < x < 2$ 真

$2 < x < 4$ 偽

$x > 4$ 偽

ステップ 14

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq - 3$ または $- 2 < x < 2$

ステップ 15

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$x \leq - 3 or - 2 < x < 2$

区間記号：

$(- \infty, - 3] \cup (- 2, 2)$

ステップ 16

代数 例

代数例