代数例

$7 \sqrt{x} + 1 < 9$

ステップ 1

$7 \sqrt{x}$ を含まないすべての項を不等式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.1

不等式の両辺から $1$ を引きます。

$7 \sqrt{x} < 9 - 1$

ステップ 1.2

$9$ から $1$ を引きます。

$7 \sqrt{x} < 8$

ステップ 2

不等式の左辺から根を削除するため、不等式の両辺を2乗します。

${(7 \sqrt{x})}^{2} < 8^{2}$

ステップ 3

不等式の各辺を簡約します。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(7 x^{\frac{1}{2}})}^{2} < 8^{2}$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

${(7 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

積の法則を $7 x^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

$7^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} < 8^{2}$

ステップ 3.2.1.2

$7$ を $2$ 乗します。

$49 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} < 8^{2}$

ステップ 3.2.1.3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$49 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 8^{2}$

ステップ 3.2.1.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$49 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 8^{2}$

ステップ 3.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$49 x^{1} < 8^{2}$

ステップ 3.2.1.4

簡約します。

$49 x < 8^{2}$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$8$ を $2$ 乗します。

$49 x < 64$

ステップ 4

$49 x < 64$ の各項を $49$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.1

$49 x < 64$ の各項を $49$ で割ります。

$\frac{49 x}{49} < \frac{64}{49}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$49$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{49 x}{49} < \frac{64}{49}$

ステップ 4.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x < \frac{64}{49}$

ステップ 5

$7 \sqrt{x} - 8$ の定義域を求めます。

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ステップ 5.1

$\sqrt{x}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 5.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$[0, \infty)$

ステップ 6

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 0$

$0 < x < \frac{64}{49}$

$x > \frac{64}{49}$

ステップ 7

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 7.1

区間 $x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.1.1

区間 $x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 7.1.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$7 \sqrt{- 2} + 1 < 9$

ステップ 7.1.3

左辺は右辺に等しくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 7.2

区間 $0 < x < \frac{64}{49}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.2.1

区間 $0 < x < \frac{64}{49}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 1$

ステップ 7.2.2

$x$ を元の不等式の $1$ で置き換えます。

$7 \sqrt{1} + 1 < 9$

ステップ 7.2.3

左辺 $8$ は右辺 $9$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 7.3

区間 $x > \frac{64}{49}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.3.1

区間 $x > \frac{64}{49}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 7.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$7 \sqrt{4} + 1 < 9$

ステップ 7.3.3

左辺 $15$ は右辺 $9$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 7.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 0$ 偽

$0 < x < \frac{64}{49}$ 真

$x > \frac{64}{49}$ 偽

$x < 0$ 偽

$0 < x < \frac{64}{49}$ 真

$x > \frac{64}{49}$ 偽

ステップ 8

解はすべての真の区間からなります。

$0 < x < \frac{64}{49}$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$0 < x < \frac{64}{49}$

区間記号：

$(0, \frac{64}{49})$

ステップ 10

代数 例

代数例