代数例

$\frac{(x - 12) (x + 5)}{{(x - 3)}^{3}} \leq 0$

ステップ 1

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x - 12 = 0$

$x + 5 = 0$

${(x - 3)}^{3} = 0$

ステップ 2

方程式の両辺に $12$ を足します。

$x = 12$

ステップ 3

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x = - 5$

ステップ 4

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 5

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 6

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = 12$

$x = - 5$

$x = 3$

ステップ 7

解をまとめます。

$x = 12, - 5, 3$

ステップ 8

$\frac{(x - 12) (x + 5)}{{(x - 3)}^{3}}$ の定義域を求めます。

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ステップ 8.1

$\frac{(x - 12) (x + 5)}{{(x - 3)}^{3}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x - 3)}^{3} = 0$

ステップ 8.2

$x$ について解きます。

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ステップ 8.2.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 8.2.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 8.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

ステップ 9

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 5$

$- 5 < x < 3$

$3 < x < 12$

$x > 12$

ステップ 10

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 10.1

区間 $x < - 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.1.1

区間 $x < - 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 8$

ステップ 10.1.2

$x$ を元の不等式の $- 8$ で置き換えます。

$\frac{((- 8) - 12) ((- 8) + 5)}{{((- 8) - 3)}^{3}} \leq 0$

ステップ 10.1.3

左辺 $- 0.04507888$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 10.2

区間 $- 5 < x < 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.2.1

区間 $- 5 < x < 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 10.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{((0) - 12) ((0) + 5)}{{((0) - 3)}^{3}} \leq 0$

ステップ 10.2.3

左辺 $2.\overline{2}$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 10.3

区間 $3 < x < 12$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.3.1

区間 $3 < x < 12$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 8$

ステップ 10.3.2

$x$ を元の不等式の $8$ で置き換えます。

$\frac{((8) - 12) ((8) + 5)}{{((8) - 3)}^{3}} \leq 0$

ステップ 10.3.3

左辺 $- 0.416$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 10.4

区間 $x > 12$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.4.1

区間 $x > 12$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 14$

ステップ 10.4.2

$x$ を元の不等式の $14$ で置き換えます。

$\frac{((14) - 12) ((14) + 5)}{{((14) - 3)}^{3}} \leq 0$

ステップ 10.4.3

左辺 $0.02854996$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 10.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 5$ 真

$- 5 < x < 3$ 偽

$3 < x < 12$ 真

$x > 12$ 偽

$x < - 5$ 真

$- 5 < x < 3$ 偽

$3 < x < 12$ 真

$x > 12$ 偽

ステップ 11

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq - 5$ または $3 < x \leq 12$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$x \leq - 5 or 3 < x \leq 12$

区間記号：

$(- \infty, - 5] \cup (3, 12]$

ステップ 13

代数 例

代数例