例

$[\begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 0 & 2 \\ 1 & - 1 \end{array}]$

ステップ 1

縮小行の階段形を求めます。

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ステップ 1.1

$R_{1}$ の各要素に $\frac{1}{3}$ を掛けて $1, 1$ の項目を $1$ にします。

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ステップ 1.1.1

$R_{1}$ の各要素に $\frac{1}{3}$ を掛けて $1, 1$ の項目を $1$ にします。

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{- 1}{3} \\ 0 & 2 \\ 1 & - 1 \end{array}]$

ステップ 1.1.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 2 \\ 1 & - 1 \end{array}]$

ステップ 1.2

行演算 $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ を行い $3, 1$ の項目を $0$ にします。

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ステップ 1.2.1

行演算 $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ を行い $3, 1$ の項目を $0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 2 \\ 1 - 1 & - 1 + \frac{1}{3} \end{array}]$

ステップ 1.2.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 2 \\ 0 & - \frac{2}{3} \end{array}]$

ステップ 1.3

$R_{2}$ の各要素に $\frac{1}{2}$ を掛けて $2, 2$ の項目を $1$ にします。

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ステップ 1.3.1

$R_{2}$ の各要素に $\frac{1}{2}$ を掛けて $2, 2$ の項目を $1$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} \\ \frac{0}{2} & \frac{2}{2} \\ 0 & - \frac{2}{3} \end{array}]$

ステップ 1.3.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 \\ 0 & - \frac{2}{3} \end{array}]$

ステップ 1.4

行演算 $R_{3} = R_{3} + \frac{2}{3} R_{2}$ を行い $3, 2$ の項目を $0$ にします。

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ステップ 1.4.1

行演算 $R_{3} = R_{3} + \frac{2}{3} R_{2}$ を行い $3, 2$ の項目を $0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 \\ 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 1.4.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 1.5

行演算 $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{2}$ を行い $1, 2$ の項目を $0$ にします。

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ステップ 1.5.1

行演算 $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{2}$ を行い $1, 2$ の項目を $0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 1.5.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 2

ピボット位置は各行の先頭の $1$ の位置です。ピボット列はピボット位置を持つ列です。

ピボット位置： $a_{11}$ と $a_{22}$

ピボット列： $1$ と $2$

ステップ 3

行列の列空間の基底は、元の行列の対応するピボット列を考慮することによって形成されます。 $Col (A)$ の次元は、 $Col (A)$ の基底に含まれるベクトルの数です。

$Col (A)$ の基底： ${[\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}]}$

$Col (A)$ の次元： $2$

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