例

$f (x) = 5 x^{2} + 3 x - 7$

ステップ 1

二次関数の最小値は $x = - \frac{b}{2 a}$ で発生します。 $a$ が正の場合、関数の最小値は $f (- \frac{b}{2 a})$ です。

$f_{最小}$ $x = a x^{2} + b x + c$ は $x = - \frac{b}{2 a}$ で生じます

ステップ 2

$x = - \frac{b}{2 a}$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$a$ と $b$ の値に代入します。

$x = - \frac{3}{2 (5)}$

ステップ 2.2

括弧を削除します。

$x = - \frac{3}{2 (5)}$

ステップ 2.3

$2$ に $5$ をかけます。

$x = - \frac{3}{10}$

ステップ 3

$f (- \frac{3}{10})$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $- \frac{3}{10}$ で置換えます。

$f (- \frac{3}{10}) = 5 {(- \frac{3}{10})}^{2} + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

ステップ 3.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 3.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{3}{10}$ に当てはめます。

$f (- \frac{3}{10}) = 5 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{10})}^{2}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

ステップ 3.2.1.1.2

積の法則を $\frac{3}{10}$ に当てはめます。

$f (- \frac{3}{10}) = 5 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{10^{2}})) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

ステップ 3.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (1 (\frac{3^{2}}{10^{2}})) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

ステップ 3.2.1.3

$\frac{3^{2}}{10^{2}}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{3^{2}}{10^{2}}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

ステップ 3.2.1.4

$3$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{9}{10^{2}}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

ステップ 3.2.1.5

$10$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{9}{100}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

ステップ 3.2.1.6

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.6.1

$5$ を $100$ で因数分解します。

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{9}{5 (20)}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

ステップ 3.2.1.6.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{9}{5 \cdot 20}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

ステップ 3.2.1.6.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

ステップ 3.2.1.7

$3 (- \frac{3}{10})$ を掛けます。

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ステップ 3.2.1.7.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - 3 (\frac{3}{10}) - 7$

ステップ 3.2.1.7.2

$- 3$ と $\frac{3}{10}$ をまとめます。

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} + \frac{- 3 \cdot 3}{10} - 7$

ステップ 3.2.1.7.3

$- 3$ に $3$ をかけます。

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} + \frac{- 9}{10} - 7$

ステップ 3.2.1.8

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9}{10} - 7$

ステップ 3.2.2

公分母を求めます。

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ステップ 3.2.2.1

$\frac{9}{10}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - (\frac{9}{10} \cdot \frac{2}{2}) - 7$

ステップ 3.2.2.2

$\frac{9}{10}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} - 7$

ステップ 3.2.2.3

$- 7$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} + \frac{- 7}{1}$

ステップ 3.2.2.4

$\frac{- 7}{1}$ に $\frac{20}{20}$ をかけます。

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} + \frac{- 7}{1} \cdot \frac{20}{20}$

ステップ 3.2.2.5

$\frac{- 7}{1}$ に $\frac{20}{20}$ をかけます。

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} + \frac{- 7 \cdot 20}{20}$

ステップ 3.2.2.6

$10 \cdot 2$ の因数を並べ替えます。

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 10} + \frac{- 7 \cdot 20}{20}$

ステップ 3.2.2.7

$2$ に $10$ をかけます。

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{20} + \frac{- 7 \cdot 20}{20}$

ステップ 3.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 - 7 \cdot 20}{20}$

ステップ 3.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.4.1

$- 9$ に $2$ をかけます。

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9 - 18 - 7 \cdot 20}{20}$

ステップ 3.2.4.2

$- 7$ に $20$ をかけます。

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9 - 18 - 140}{20}$

ステップ 3.2.5

式を簡約します。

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ステップ 3.2.5.1

$9$ から $18$ を引きます。

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{- 9 - 140}{20}$

ステップ 3.2.5.2

$- 9$ から $140$ を引きます。

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{- 149}{20}$

ステップ 3.2.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{3}{10}) = - \frac{149}{20}$

ステップ 3.2.6

最終的な答えは $- \frac{149}{20}$ です。

$- \frac{149}{20}$

ステップ 4

$x$ 値と $y$ 値を利用し、最小値が発生する場所を求めます。

$(- \frac{3}{10}, - \frac{149}{20})$

ステップ 5

問題を入力